Równania funkcyjne

1. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: f(x + y) = f(x) − f(y).

2. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y).

3. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: f(y)f(x) − xy = f(x) + f(y) − 1.

4. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x ∈ ℝ równanie: 2f(x) + f(1 − x) = x^{2}.

5. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: f(x + y) = f(f(x)) + y.

6. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: f(x + y) = f(f(x)) + y + 1.

7. Znajdź wszystkie funkcje monotoniczne f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie:

f(x) + f(y) = f(x + y).

8. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x ∈ ℝ równanie:

f(x) + f(\frac{1}{1 − x} ) = x.

9. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: f(xy) = f(x)f(y) − f(x + y) + 1.

10. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniaj _{}ace dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie: f(f(x + y) − 2xy) = x^{4} + f(y^{2}) − 2f(xy).