Pierwsze zawody indywidualne

grupa młodsza niedziela, 21 września 2003

11. Dana jest liczba całkowita n 2 i liczba rzeczywista a. Rozwi _{}azać w liczbach rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} układ równań:

\{ \begin{matrix}x_{1}^{2} + ax_{1} + (\frac{a−1}{2} )^{2} = x_{2} \\ x_{2}^{2} + ax_{2} + (\frac{a−1}{2} )^{2} = x_{3} \\ … \\ x_{n}^{2} + ax_{n} + (\frac{a−1}{2} )^{2} = x_{1}. \end{matrix}

12. Liczb _{}a Grabowskiego nazywamy liczb_{}e całkowit _{}a dodatni _{}a, która w zapisie dziesi_{}etnym składa si_{}e z samych jedynek. Udowodnij, że jeśli pewna liczba Grabowskiego jest pierwsza, to liczba jej cyfr również jest pierwsza.

13. Na polach szachownicy n × n rozmieszczono n^{2} różnych liczb całkowitych, po jednej na każdym polu. W każdej kolumnie pole z najwi_{}eksz _{}a liczb _{}a pomalowano na czerwono. Zbiór n pól szachownicy nazwiemy dopuszczalnym, jeżeli żadne dwa z tych pól nie znajduj _{}a si_{}e w tym samym wierszu ani w tej samej kolumnie. Spośród wszystkich zbiorów dopuszczalnych wybrano zbiór, dla którego suma liczb umieszczonych na jego polach jest najwi_{}eksza. Wykazać, że w tak wybranym zbiorze jest czerwone pole.

14. Niech ℕ oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje taka funkcja f : ℕ → ℕ, że dla każdego n ∈ ℕ zachodzi równość f(f(n)) = 2n.

15. W pi_{}eciok _{}acie wypukłym ABCDE przek _{}atne BE i BD przecinaj _{}a przek _{}atn _{}a AC odpowiednio w punktach K i M, przy czym |AE| = |EK| = |KB| i |AK| = |MC|. Wykazać, że |EM| = |BC|.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa starsza niedziela, 21 września 2003

15. W pi_{}eciok _{}acie wypukłym ABCDE przek _{}atne BE i BD przecinaj _{}a przek _{}atn _{}a AC odpowiednio w punktach K i M, przy czym |AE| = |EK| = |KB| i |AK| = |MC|. Wykazać, że |EM| = |BC|.

16. Ci _{}ag (a_{k}) jest zdefiniowany nast_{}epuj _{}aco: dla każdego k ∈ ℕ a_{k} = 729k + 1. Wykazać, że w tym ci _{}agu istnieje nieskończenie wiele wyrazów b_{}ed _{}acych pot_{}egami liczby 10.

17. Do pokoju, gdzie przy okr _{}agłym stole jest n miejsc, wchodzi kolejno n osób. Pierwsza osoba siada na dowolnym miejscu. Kolejna siada na pierwszym krześle po lewej od pierwszej osoby. Osoba o numerze i siada na i − 1-szym krześle po lewej od osoby o numerze i − 1. Wyznacz wszystkie takie n, dla których n osób bezkonfliktowo usi _{}adzie przy stole.

18. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n 2 i dla dowolnych liczb rzeczywistych x_{0} > x_{1} > x_{2} > … > x_{n} zachodzi nierówność:

x_{0} + \frac{1}{x_{0} − x_{1}} + \frac{1}{x_{1} − x_{2}} + \frac{1}{x_{2} − x_{3}} + … + \frac{1}{x_{n−1} − x_{n}} x_{n} + 2n.

19. Wyznacz wszystkie takie n całkowite dodatnie, dla których każdemu wierzchołkowi n-k _{}ata foremnego można przyporz _{}adkować różn _{}a liczb_{}e ze zbioru {1, 2, 3, …, n} tak, by dla każdych trzech wierzchołków A, B, C, dla których |AB| = |AC|, liczba przy wierzchołku A była albo mniejsza, albo wi_{}eksza od jednocześnie obu liczb przy wierzchołkach B i C.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa najstarsza niedziela, 21 września 2003

17. Do pokoju, gdzie przy okr _{}agłym stole jest n miejsc, wchodzi kolejno n osób. Pierwsza osoba siada na dowolnym miejscu. Kolejna siada na pierwszym krześle po lewej od pierwszej osoby. Osoba o numerze i siada na i − 1-szym krześle po lewej od osoby o numerze i − 1. Wyznacz wszystkie takie n, dla których n osób bezkonfliktowo usi _{}adzie przy stole.

18. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej n 2 i dla dowolnych liczb rzeczywistych x_{0} > x_{1} > x_{2} > … > x_{n} zachodzi nierówność:

x_{0} + \frac{1}{x_{0} − x_{1}} + \frac{1}{x_{1} − x_{2}} + \frac{1}{x_{2} − x_{3}} + … + \frac{1}{x_{n−1} − x_{n}} x_{n} + 2n.

19. Wyznacz wszystkie takie n całkowite dodatnie, dla których każdemu wierzchołkowi n-k _{}ata foremnego można przyporz _{}adkować różn _{}a liczb_{}e ze zbioru {1, 2, 3, …, n} tak, by dla każdych trzech wierzchołków A, B, C, dla których |AB| = |AC|, liczba przy wierzchołku A była albo mniejsza, albo wi_{}eksza od jednocześnie obu liczb przy wierzchołkach B i C.

110. Niech O i O_{1} b_{}ed _{}a środkami odpowiednio okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC i okr_{}egu dopisanego do trójk _{}ata ABC naprzeciwko wierzchołka A. Udowodnij, że jeśli okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ABC jest styczny do symetralnej odcinka OO_{1}, to trójk _{}at ABC jest równoramienny.

111. Znajdź wszyskie liczby całkowite dodatnie n takie, że dla każdych liczb całkowitych dodatnich a, b takich, że NW D(a, b) = 1 oraz a|n i b|n, zachodzi a + b − 1|n.