Mecz matematyczny

grupa młodsza piatek, 26 września 2003

61. Dany jest sześcian ABCDA′B′C′D′ o boku długości 1. Punkty K i L s _{}a środkami odpowiednio kraw_{}edzi AA′i CC′. Punkt M jest takim punktem na półprostej BB′, że 2|B′M| = |BB′|. Punkty P i Q s _{}a przeci_{}eciami płaszczyzny KLM z prostymi AD i CD. Obliczyć pole pi_{}eciok _{}ata KMLQP.

62. Niech A_{n+1} = ∑ _{k=0}^{⌊n/2⌋} \binom{n−k}{k}. Udowodnić, że dla n > 4 złożonych, A_{n} również jest liczb _{}a złożon _{}a.

63. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c takich, że a + b + c = 1 zachodzi 6(ab + bc + ca) + a(b − c)^{2} + b(c − a)^{2} + c(a − b)^{2} 2.

64. Wyznaczyć wszystkie takie pary rozł _{}acznych niepustych zbiorów A i B, że ich suma (mnogościowa) jest zbiorem liczb całkowitych nieujemnych oraz zachodz _{}a jednocześnie nast_{}epuj _{}ace warunki:

(i) suma dwóch liczb należ _{}acych do jednego zbioru należy zawsze do A;

(ii) suma dwóch liczb należ _{}acych do różnych zbiorów należy zawsze do B.

65. Dane jest m monet, z których wszystkie waż _{}a tyle samo oprócz jednej, której masa jest inna. Wyznaczyć najwi_{}eksze m takie, że podróbk_{}e da si_{}e znaleźć w co najwyżej n ważeniach na wadze szalkowej bez odważników, jeśli

(a) wiadomo, czy moneta fałszywa jest ci_{}eższa czy lżejsza od pozostałych.

(b) nie wiadomo, czy moneta fałszywa jest ci_{}eższa, czy lżejsza od pozostałych.

66. Wykazać, że w rozwini_{}eciu \sqrt{2} w systemie dziesi_{}etnym na miejscach od miliardowego do trzymiliardowego po przecinku wł _{}acznie istnieje pewna niezerowa cyfra.

67. W okr_{}egu o środku O ci_{}eciwy AC i BD, z których żadna nie jest średnic _{}a, s _{}a prostopadłe i przecinaj _{}a si_{}e w punkcie M. Punkty K i N s _{}a środkami odpowiednio odcinków AD i BC. Wykaż, że czworok _{}at KMNO jest równoległobokiem.

68. Wykazać, że każd _{}a liczb_{}e całkowit _{}a n > 3 daje si_{}e przedstawić jako sum_{}e różnych wyrazów ci _{}agu Fibonacciego tak, by w tej sumie nie wyst_{}epowały dwa kolejne wyrazy ci _{}agu Fibonacciego.

69. W równoległoboku ABCD punkt M należy do przek _{}atnej BD, punkt K do boku CD, a punkt N do boku BC, przy czym KM∥BC i MN∥AB. Punkty E i F to odpowiednio punkty przeci_{}ecia prostych AN i AK z przek _{}atn _{}a BD. Wykazać, że pole trójk _{}ata AEF jest równe sumie pól trójk _{}atów DKF i ENB.

610. Znaleźć rozwi _{}azania w liczbach naturalnych m, n równania:

m^{2}n + 1 = m^{2} + 2mn + 2m + n.

611. Niech (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{2000}) b_{}edzie permutacj _{}a zbioru liczb {1, 2, 3, …, 2000}. Udowodnić, że istniej _{}a różne liczby k, l ∈ {1, 2, 3, …, 2000} takie, że

2000 | (a_{k} + k) − (a_{l} + l).

Mecz matematyczny

grupa starsza piatek, 26 września 2003

69. W równoległoboku ABCD punkt M należy do przek _{}atnej BD, punkt K do boku CD, a punkt N do boku BC, przy czym KM∥BC i MN∥AB. Punkty E i F to odpowiednio punkty przeci_{}ecia prostych AN i AK z przek _{}atn _{}a BD. Wykazać, że pole trójk _{}ata AEF jest równe sumie pól trójk _{}atów DKF i ENB.

610. Znaleźć rozwi _{}azania w liczbach naturalnych m, n układu równań:

m^{2}n + 1 = m^{2} + 2mn + 2m + n.

611. Niech (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …, a_{2000}) b_{}edzie permutacj _{}a zbioru liczb {1, 2, 3, …, 2000}. Udowodnić, że istniej _{}a różne liczby k, l ∈ {1, 2, 3, …, 2000} takie, że

2000 | (a_{k} + k) − (a_{l} + l).

612. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowitej n 2 zachodzi równość:

\binom{n}{0} \binom{n}{⌊\frac{n}{2}⌋} + 2\binom{n}{1} \binom{n − 1}{⌊\frac{n−1}{2} ⌋} + 2^{2}\binom{n}{2} \binom{n − 2}{⌊\frac{n−2}{2} ⌋} + … + 2^{n−1} \binom{n}{n − 1} \binom{1}{⌊\frac{1}{2}⌋} + 2^{n} = \binom{2n + 1}{n} .

613. Udowodnić, że każdy trójk _{}at pitagorejski o przyprostok _{}atnych, których długości boków s _{}a kolejnymi liczbami naturalnymi, ma boki postaci f^{k}(3, 4, 5), gdzie f jest funkcj _{}a zdefiniowan _{}a nastepuj _{}aco: f(x, x + 1, z) = (3x + 2z + 1, 3x + 2z + 2, 4x + 3z + 2), zaś f^{k}, gdzie k ∈ ℕ, oznacza k-krotne złożenie f.

614. Udowodnić, że dla dowolnych liczb dodatnich x, y, z takich, że x + y + z = 3, zachodzi nierówność:

\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} xy + yz + zx.

615. Niech punkt O b_{}edzie środkiem okr_{}egu ω. Przystaj _{}ace ci_{}eciwy AB i CD okr_{}egu ω przecinaj _{}a si_{}e w punkcie L i |AL| > |LB| oraz |CL| < |LD|. Niech M i N b_{}ed _{}a punktami odpowienio na odcinkach AL i DL takimi, że |∡ALC| = 2|∡MON|. Udowodnić, że ci_{}eciwa okr_{}egu ω przechodz _{}aca przez punkty M i N jest przystaj _{}aca do ci_{}eciw AB i CD.

616. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, dla których zachodzi x_{1}x_{2} …x_{n} = 1 prawdziwa jest nierówność:

\frac{1}{n − 1 + x_{1}} + \frac{1}{n − 1 + x_{2}} + … + \frac{1}{n − 1 + x_{n}} 1.

617. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania w liczbach całkowitych (x, y, z) układu równań:

\{ \begin{matrix}2x^{3} − 7x^{2} + 8x − 2 = y \\ 2y^{3} − 7y^{2} + 8y − 2 = z \\ 2z^{3} − 7z^{2} + 8z − 2 = x \end{matrix}

618. W równoległościanie ABCDA′B′C′D′na kraw_{}edziach AB, BC, CD i DA obrano odpowiednio punkty K, L, M, N. Wykazać, że środki sfer opisanych na czworościanach A′ANK, B′BKL, C′CLM, D′DMN tworz _{}a równoległobok.

619. Pewien duży trójk _{}at o wierzchołkach V_{1}, V_{2}, V_{3} striangulowano, tzn. podzielono na skończenie wiele trójk _{}atów, z których s _{}asiednie przylegaj _{}a do siebie całym bokiem lub dotykaj _{}a wierzchołkami.

Wierzchołkom triangulacji przypisujemy kolory ze zbioru {1, 2, 3} w taki sposób, że V_{i} dostaje kolor i. Do kolorowania wierzchołków na boku V_{j}V_{k} (j ≠ k) używamy wył _{}acznie kolorów j oraz k, zaś wierzchołki wewn _{}atrz dużego trójk _{}ata kolorujemy dowolnie.

Udowodnić, że w triangulacji istnieje mały trójkolorowy trójk _{}at.