Dziesi_{}eć niekoniecznie nieprostych zadań nie tylko z kolorkami

wtorek, 23 września 2003

1. Dane jest 66 punktów trójkami niewspółliniowych na płaszczyźnie. Każde dwa punkty łaczymy odcinkiem w jednym z czterech kolorów. Udowodnij, że istnieje trójk _{}at o bokach jednego koloru.

2. Dane jest 9 punktów trójkami niewspółliniowych na płaszczyźnie. Każde dwa punkty łaczymy odcinkiem w jednym z dwóch kolorów: czarny lub biały. Udowodnij, że istnieje czworok _{}at o bokach i przek _{}atnych białych lub trójk _{}at o bokach czarnych.

3. Każdy punkt okr_{}egu pomalowano na jeden z 3 kolorów. Udowodnij, że istniej _{}a trzy różne punkty jednego koloru na tym okr_{}egu tworz _{}ace trójk _{}at równoramienny.

4. Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na czarno lub biało. Udowodnij, że istnieje trójk _{}at równoboczny o wierzchołkach tego samego koloru.

5. Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na czarno, biało lub na kolor kawa z mlekiem. Udowodnij, że istniej _{}a dwa punkty jednego koloru w odległości 1.

6. Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na czarno lub biało. Udowodnij, że istnieje trójk _{}at równoboczny o boku 1 lub \sqrt{3} o wierzchołkach tego samego koloru.

7. Każdy punkt płaszczyzny pomalowano na czarno lub biało. Udowodnij, że istniej _{}a cztery punkty A, B, C i D jednego koloru takie, że punkt D jest środkiem okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC.

8. W przestrzeni trójwymiarowej pomalowano 2000 punktów kratowych na czerwono i inne 2000 na niebiesko tak, że żadne dwa takie odcinki, że jeden koniec odcinka jest punktem czerwonym, a drugi niebieskim, nie maj _{}a punktów wspólnych poza ewentualnymi wierzchołkami. Udowodnij, że dla każdego prostopadłościanu o wierzchołach u punktach kartowych i kraw_{}edziach równoległych do osi uk _{}adu współrz_{}ednych, zawieraj _{}acego wszystkie pomalowane punkty, obj_{}etość tego prostopadłościanu jest co najmniej 500000.

9. Na płaszczyźnie pomalowano n punktów na niebiesko oraz okr _{}ag o promieniu 1 na czerwono. Udowodnij, że istnieje czerwony punkt o sumie odległości od niebieskich punktów niemniejszej niż n.

10. Na płaszczyźnie dana jest figura F, która jest wypukła i środkowosymetryczna wzgl_{}edem jednego z punktów kratowych. Wykaż, że jeśli ona nie zawiera żadnego wi_{}ecej punktu kratowego, to ma pole niewi_{}eksze niż 4.