0. Przeprowadź konstrukcyjnie inwersj_{}e.

1. Proste k i l s _{}a styczne do okr_{}egu ω w punktach A i B odpowiednio. Udowodnij, że obrazem punktu przeci_{}ecia prostych k i l wzgl_{}edem okr_{}egu ω jest środek odcinka AB.

2. Udowodnij, że jeśli okr_{}egi ω i Ω s _{}a prostopadłe, to inwersja wzgl_{}edem okr_{}egu ω przekształca okr _{}ag Ω na samego siebie.

3. Udowodnij, że złożenie dwóch inwersji współśrodkowych jest jednokładności _{}a.

4*. Udowodnij, że złożenie dwóch inwersji jest podobieństwem.

5*. Udowodnij, że każde dwa nieprzecinaj _{}ace si_{}e okr_{}egi można przekształcić przez inwersj_{}e na okr_{}egi współśrodkowe.

6. Okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach A i B. Punkt C leży na okr_{}egu ω_{1}, a punkt D na ω_{2}. Udowodnij, że jeśli okr_{}egi opisane na trójk _{}atach CAB i CDB s _{}a prostopadłe, to również okr_{}egi ω_{1} i ω_{2} s _{}a prostopadłe.

7. Okr _{}ag ω leży we wn_{}etrzu okr_{}egu Ω. Okr _{}ag o_{1} jest styczny zewn_{}etrznie do okr_{}egu ω i wewn_{}etrznie do okr_{}egu Ω. Dla i = 2, 3, 4, … definiujemy okr _{}ag o_{i} jako okr _{}ag styczny zewn_{}etrznie do o_{i−1} i do ω oraz wewn_{}etrznie do Ω, przy czym konstruuj _{}ac kolejne okr_{}egi o_{i} poruszamy si_{}e w t _{}a sam _{}a stron_{}e. Udowodnij, że jeśli dla pewnego n > 2 i pewnego o_{1} okr _{}ag o_{n} jest styczne do o_{1}, to wówczas dla każdego pocz _{}atkowego o_{1} okr _{}ag o_{1} b_{}edzie styczny do o_{n}.

8. Dane s _{}a okr_{}egi ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} i ω_{4} oraz ich punkty przeci_{}ecia: punkty A_{i} i B_{i} s _{}a punktami przeci_{}eć okr_{}egów ω_{i} i ω_{i+1} dla i = 1, 2, 3, 4 (przyjmujemy ω_{1} = ω_{5}. Udowodnij, że jeśli na czworok _{}acie A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} da si_{}e opisać okr _{}ag, to również na czworok _{}acie A_{2}B_{2}C_{2}D_{2} da si_{}e opisać okr _{}ag.

9. Okr _{}ag ω leży wewn _{}atrz okr_{}egu Ω i przechodzi przez jego środek. Okr_{}egi o_{1}, o_{2}, …, o_{6} s _{}a styczne w_{}ewn_{}etrznie do okr_{}egu Ω i zewn_{}etrznie do okr_{}egu ω. Ponadto dla i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 okżegi o_{i} i o_{i+1} s _{}a styczne zewn_{}etrznie (przyjmujemy o_{1} = o_{7}). Wyznacz możliwe wartości stosunku promienia okr_{}egu ω do promienia okr_{}egu Ω.

10. Okr _{}ag ω leży wewn _{}atrz okr_{}egu Ω i przechodzi przez jego środek. Okr_{}egi o_{1}, o_{2}, …, o_{n} s _{}a styczne w_{}ewn_{}etrznie do okr_{}egu Ω i zewn_{}etrznie do okr_{}egu ω. Ponadto dla i = 1, 2, 3, …, n okżegi o_{i} i o_{i+1} s _{}a styczne zewn_{}etrznie (przyjmujemy o_{1} = o_{n+1} ). Wykaż, że wspólne styczne okr_{}egów o_{i} i o_{i+1} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

11. Dane s _{}a rozłaczne okr_{}egi A, B i C. Skonstruuj okr _{}ag styczny do tych okr_{}egów.

12. Dane s _{}a okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3} i o_{4}, przy czym okr_{}egi o_{i} i o_{i+1} s _{}a styczne zewn_{}etrznie dla i = 1, 2, 3, 4 (przyjmujemy o_{1} = o_{5}). Wykaż, że punkty styczności tych okr_{}egów leż _{}a na jednym okżegu.

13. Okr _{}ag ω leży wewn _{}atrz okr_{}egu Ω i przechodzi przez jego środek. Okr_{}egi o_{1}, o_{2}, …, o_{n} s _{}a styczne w_{}ewn_{}etrznie do okr_{}egu Ω i zewn_{}etrznie do okr_{}egu ω. Ponadto dla i = 1, 2, 3, …, n okżegi o_{i} i o_{i+1} s _{}a styczne zewn_{}etrznie (przyjmujemy o_{1} = o_{n+1} ). Wykaż, że wspólne styczne okr_{}egów o_{i} i o_{i+1} leża na jednym okr_{}egu.