Insze bajery

1. W głosowaniu oddano p głosów na Samoobron_{}e i q głosów na LPR (p > q). Policz prawdopodobieństwo, że cały czas podczas trwania wyborów:

a) wygrywała Samoobrona

b) nie przegrywała Samoobrona.

2. Na ile sposobów można ustawić w dwuszereg 2n-osobow _{}a drużyn_{}e harcersk _{}a (wszystkie osoby s _{}a parami różnego wzrostu), aby w każdym szeregu harcerze stali od najwyższego do najniższego oraz aby w każdej parze wyższy stał za niższym?

3. Wyznacz najwi_{}eksz _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia

x\sqrt{(1 − y^{2})} + y\sqrt{(1 − x^{2})}

dla x, y ∈ [−1, 1].

4. Udowodnij, że dla liczb dodatnich a i b, a > b, zachodzi nierówność

\sqrt{a^{2} − b^{2}} + \sqrt{2ab − b^{2}} a.

5. Rozwi _{}aż w liczbach rzeczywistych a, b, c ∈ [−1, 1] nast_{}epuj _{}acy układ równań:

\{ \begin{matrix}a = 3c − 4c^{3} \\ b = 3a − 4a^{3} \\ c = 3b − 4b^{3}. \end{matrix}

6. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczb_{}e rozwi _{}azań (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) układu równań:

\{ \begin{matrix}x_{2} + x_{1}^{2} = 4x_{1} \\ x_{3} + x_{2}^{2} = 4x_{2} \\ x_{4} + x_{3}^{2} = 4x_{3} \\ ...................... \\ x_{n} + x_{n−1}^{2} = 4x_{n−1} \\ x_{1} + x_{n}^{2} = 4x_{n}. \end{matrix}

w liczbach rzeczywistych nieujemnych.

7. Wykaż, że dla a, b, c ∈ ℝ^{+} zachodzi nierówność:

\sqrt{a^{2} − ab + b^{2}} + \sqrt{b^{2} − bc + c^{2}} \sqrt{a^{2} + ac + c^{2}} .

8. Dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ takich, że ∑ _{i=1}^{n} a_{i} = n, znaleźć najmniejsz _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia

∑_{i=1}^{n} \sqrt{a_{i}^{2} + (2i − 1)^{2}} .