Drugie zawody indywidualne

grupa pierwszoklasistów poniedziałek, 22 września 2003

21. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniaj _{}ace układ równań:

\{ \begin{matrix}abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 \\ bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 \\ cda + cd + da + ac + d + c + a = 9 \\ dab + da + ab + bd + d + a + b = 9 \end{matrix}

22. W trakcie turnieju tenisowego, w którym uczestniczyło n graczy, każda para rozegrała 1 mecz i nie odnotowano remisów. Udowodnić, że istnieje taki gracz A, który każdego innego gracza B pokonał bezpośrednio lub pośrednio, to znaczy gracz A wygrał z B lub gracz A pokonał pewnego zawodnika C, który wygrał z graczem B.

23. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω, a punkty C i D s _{}a dowolnymi punktami na okr_{}egu ω. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, a proste AD i BC w punkcie Q. Udowodnić, że AB ⊥ P Q.

24. n krasnoludków o wzrostach 1, 2, 3, …, n stoi na okr_{}egu. Jaka jest

(a) najmniejsza

(b) najwi_{}eksza

możliwa suma wartości bezwzgl_{}ednych różnic mi_{}edzy wysokościami s _{}asiednich krasnoludków na okr_{}egu?

25. Znaleźć najmniejsz _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia |12^{k} − 5^{l}| dla k, l ∈ ℤ^{+} .

Drugie zawody indywidualne

grupa młodsza poniedziałek, 22 września 2003

23. Odcinek AB jest średnic _{}a okr_{}egu ω, a punkty C i D śa dowolnymi punktami na okr_{}egu ω. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, a proste AD i BC w punkcie Q. Udowodnić, że AB ⊥ P Q.

24. n krasnoludków o wzrostach 1, 2, 3, …, n stoi na okr_{}egu. Jaka jest

(a) najmniejsza

(b) najwi_{}eksza

możliwa suma wartości bezwzgl_{}ednych różnic mi_{}edzy wysokościami s _{}asiednich krasnoludków na okr_{}egu?

25. Znaleźć najmniejsz _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia |12^{k} − 5^{l}| dla k, l ∈ ℤ^{+} .

26. Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

ab(a + b − 2c) + bc(b + c − 2a) + ca(c + a − 2b) 0.

27. Udowodnić, że jeśli p^{m}|\binom{n}{k} dla pewnych liczb naturalnych n, k, m i liczby pierwszej p, to p^{m} n.

Drugie zawody indywidualne

grupa starsza poniedziałek, 22 września 2003

27. Udowodnić, że jeśli p^{m}|\binom{n}{k} dla pewnych liczb naturalnych n, k, m i liczby pierwszej p, to p^{m} n.

28. Na boku AB trójk _{}ata ABC obrano punkty P i Q tak, by punkt P leżał na odcinku AQ i by |∡ACP | = |∡P CQ| = |∡QCB|. Niech AD b_{}edzie dwusieczn _{}a wewn_{}etrzn _{}a trójk _{}ata ABC. Prosta AD przecina proste CP i CQ odpowiednio w punktach M i N. Wykazać, że jeśli |P N| = |CD| i 3|∡BAC| = 2|∡BCA|, to trójk _{}aty CQD i QNB maj _{}a równe pola.

29. Niech d(n) oznacza liczb_{}e dzielników liczby n. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że n = (d(n))^{2}.

210. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{a}{2b + c} + \frac{b}{2c + a} + \frac{c}{2a + b} 1.

211. Dany jest sześcian ABCDEF GH, w którym kraw_{}edziami s _{}a odcinki AE i BF. Obliczyć k _{}at dwuścienny mi_{}edzy płaszczyznami BHC i BHG.

Drugie zawody indywidualne

grupa najstarsza poniedziałek, 22 września 2003

29. Niech d(n) oznacza liczb_{}e dzielników liczby n. Znaleźć wszystkie liczby naturalne n takie, że n = (d(n))^{2}.

210. Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{a}{2b + c} + \frac{b}{2c + a} + \frac{c}{2a + b} 1.

211. Dany jest sześcian ABCDEF GH, w którym kraw_{}edziami s _{}a odcinki AE i BF. Obliczyć k _{}at dwuścienny mi_{}edzy płaszczyznami BHC i BHG.

212. Niech S b_{}edzie zbiorem liczb wymiernych postaci \frac{1}{mn} dla liczb naturalnych 1 n, m 2003. Udowodnić, że suma liczb ze zbioru S jest niecałkowita.

213. Odcinki AD, BE i CF s _{}a wysokościami trójk _{}ata nierównobocznego ostrok _{}atnego ABC. Niech l b_{}edzie prost _{}a równoległ _{}a do odcinka EF przechodz _{}ac _{}a przez punkt D. Punkty P, Q, R s _{}a przeci_{}eciami odpowiednio prostych BC i EF, l i AC oraz l i AB. Wykazać, że okr _{}ag opisany na trójk _{}acie P QR przechodzi przez środek odcinka BC.