.......................................................................  ...........  ................................
imie i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na IV Warsztaty Matematyczne

Klasa druga i czwarta

Na pytania odpowiada się �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” bądź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji:

Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty. Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Onufry i Joasia maj _{}a po symetrycznej monecie. Onufry rzuca ni _{}a 64 razy, a Joasia 65 razy. Szansa, że

Onufry wyrzuci nie wi_{}ecej niż 16 orłów jest mniejsza niż 25%. Onufry wyrzuci mniej orłów niż Joasia jest wi_{}eksza niż 50%. Onufry wyrzuci dokładnie 63 orły jest wi_{}eksza niż że Joasia wyrzuci dokładnie 64 reszki.

2*. Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Rozważmy wielomian W (x) = (x^{2} − x − 1)^{n}. Suma współczynników wielomianu W jest zawsze nieujemna. Suma współczynników przy nieparzystych pot_{}egach wielomianu W jest zawsze niedo-

datnia.

Współczynnik przy x^{2n−1} jest nie wi_{}ekszy od 1.

3. Dany trójk _{}at ABC. Szukamy takich punktów D, E, F na odpowiednio bokach BC, CA, AB, że DC = CE, DB = BF i EA = F A.

Takie punkty D, E, F zawsze istniej _{}a. Jeśli punkty D, E, F istniej _{}a, to s _{}a punktami styczności okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at

ABC.

Jeśli punkty D, E, F istniej _{}a, to trójk _{}at DEF jest podobny do trójk _{}ata ABC.

4*. W trójk _{}acie ABC odcinki AD, BE i CF s _{}a środkowymi. Niech |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |AD| = d, |BE| = e, |CF | = f, 2p = a + b + c, s = d + e + f.

s = p\sqrt{3}. s > p. s 2p.

5. W pierwszych klasach w Staszicu można odrabiać prace domowe z chemii, geografii i biologii. Tylko chemi_{}e odrabia 29 uczniów, tylko biologi_{}e 58, zaś tylko geografi_{}e 73. Uczniów odrabiaj _{}acych zarówno chemi_{}e jak i biologi_{}e jest 15 (cz_{}eść z nich może odrabiać też geografi_{}e), biologi_{}e i geografi_{}e 20, geografi_{}e i chemi_{}e 17.

Jest możliwe, że dokładnie 110 osób odrabia geografi_{}e. Jest możliwe, że biologi_{}e odrabia 95 osób. Na pewno chemi_{}e odrabia przynajmniej 46 osób.

6. Dany jest pi_{}eciok _{}at foremny ABCDE. Punkty F i G s _{}a takie, że trójk _{}aty ABF i CDG s _{}a równoboczne oraz punkt F leży wewn _{}atrz pi_{}eciok _{}ata ABCDE, a G na zewn _{}atrz.

K _{}at CF D wynosi 82^{∘}. K _{}at F CD wynosi 44^{∘}. K _{}at BGC wynosi 6^{∘}.

7. Prawdopodobieństwo znalezienia wśród 400 kandydatów do szkoły dwudziestu urodzonych tego samego dnia tygodnia jest

równe \frac{7}{20}. równe 1. równe \frac{1}{7}.

8. Niech P (n) = 2^{n} + 3^{n} dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n.

7|P (543). Istnieje takie n > 1, że n|P (n). Istnieje takie n, że 7|(P (n) − 1)(P (n) − 3).

9. Onufry i Joasia graj _{}a w nast_{}epuj _{}ac _{}a gr_{}e: na stole leż _{}a 102103 cukierki. Gr_{}e rozpoczyna Joasia, ruchy wykonuj _{}a na przemian. Ruch polega na zdj_{}eciu ze stosu 34, 51 lub 68 cukierków. Gr_{}e wygrywa gracz, który pozostawi na stole dokładnie k cukierków. Remis nast_{}epuje, gdy któryś gracz nie może wykonać ruchu. Onufry może wygrać gr_{}e, niezależnie od ruchów Joasi, jeśli:

k = 0. k = 1. k = 52.

10. Płaszczyzna dobrze dziel _{}aca brył_{}e to taka, która dzieli j _{}a na dwie przystaj _{}ace bryły. Czworościan foremny ma dokładnie 10 płaszczyzn dobrze dziel _{}acych. Dwudziestościan foremny ma mniej niż 2003 płaszczyzny dobrze dziel _{}ace. Ostrosłup prawidłowy 2003-k _{}atny ma dokładnie 2003 płaszczyzny dobrze dziel _{}ace.

11. Niech f_{n} : ℝ \ {0} → ℝ i f_{n}(x) = x^{n} + n dla liczb całkowitych n.

f_{n} może mieć miejsca zerowe tylko jeśli n < 0. Istnieje takie całkowite n i rzeczywiste x ≠ 0, że f_{n}(x) + f_{−n} (x) = \frac{3}{2}. Dla każdego całkowitego n i rzeczywistego x ≠ 0 zachodzi nierówność f_{n}^{2}(x) + f_{−n}^{2} (x)

f_{n}(x) + f_{−n} (x).

12. Skoczek szachowy na szachownicy n × n może obejść wszystkie pola szachownicy b_{}ed _{}ac na każdym dokladnie raz i wrócić do pola z którego zaczynał jeśli:

n = 3. n = 5. n = 81.

13. Dziadek napisał w rz _{}adku 2003 liczby. Babcia zauważyła, że każde cztery kolejne liczby w rz _{}adku Dziadka daj _{}a t_{}e sam _{}a sum_{}e. Wnuczek zdradził nam, że pierwsz _{}a liczb _{}a z rz _{}adku jest 7, pi_{}ećdziesi _{}at _{}a pierwsz _{}a 4, czwart _{}a zaś 23.

Możliwe jest, że setn _{}a liczb _{}a jest 13. 1001- _{}a liczb _{}a musi być 6. Liczb _{}a na pozycji 2002 musi być 23.

14. Przecinaj _{}ac dwudziestościan foremny płaszczyzn _{}a w przekroju można otrzymać: pi_{}eciok _{}at foremny. dziewi_{}eciok _{}at o równych bokach. dziesi_{}eciok _{}at foremny.

15*. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC, jeśli nast_{}epuj _{}ace punkty istniej _{}a, to si_{}e pokrywaj _{}a: ortocentrum i punkt o najmniejszej sumie odległości od wierzchołków i boków. środek ci_{}eżkości i punkt o najmniejszej sumie odległości od boków. środek okr_{}egu opisanego i punkt o najmniejszej sumie odległości od wierzchołków.

16. Funkcja f(x) = x^{2} jest jedyn _{}a funkcj _{}a spośród funkcji prowadz _{}acych z rzeczywistych w rzeczywiste spełniaj _{}ac _{}a dla dowolnych x, y ∈ ℝ równanie:

(f(x) + f(y))^{2} = f(x^{2} + y^{2}). f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy. f^{2}(x + 1) = x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1.

17. Dla dowolnej funkcji f : ℝ → ℝ funkcja g(x) = f(x^{4}) jest parzysta. h(x) = f^{4}(x) jest parzysta. i(x) = f(x^{3}) jest nieparzysta.

18. Dane s _{}a liczby całkowite dodatnie k i l i szachownica n×n. Ruch superskoczka polega na przesuni_{}eciu si_{}e o k pól w jednym z kierunków równoległych do kraw_{}edzi pól i o l w kierunku prostopadłym do poprzednio wybranego kierunku. Superskoczek może, b_{}ed _{}ac na dowolnym polu, dojść na dowolne inne, jeśli:

n = 2003, k = 84, l = 343. n = 2003, k = 1117, l = 1119. n = 2003, k = 1234, l = 17.

19*. Prostopadłościan ABCDEF GH, w którym kraw_{}edziami bocznymi s _{}a AE i BF, ma kraw_{}edzie boczne i przek _{}atne główne o długościach b_{}ed _{}acych liczbami całkowitymi.

Kraw_{}edzie boczne mog _{}a mieć wszystkie długości nieparzyste. Możliwe jest, że odcinki AB, BC i AC maj _{}a długości b_{}ed _{}ace kwadratami liczb całko-

witych.

Możliwe jest, że AB = BC.

20. Funkcja f : ℝ → ℝ jest nieparzysta, a g : ℝ → ℝ jest parzysta.

Funkcja h(x) = f^{2}(x) jest parzysta. Funkcja i(x) = f(g(x)) jest parzysta. Funkcja j(x) = (f(x) + g(x))^{2} jest parzysta.

21*. Dla każdych liczb całkowitych dodatnich n > 2 i 1 < k < n zachodzi n|k\binom{n}{k}.

n(n − 1)|k\binom{n}{k}.

n|\binom{n}{k} wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczb _{}a pierwsz _{}a.

22. Dany jest trójk _{}at rozwartok _{}atny o bokach a, b, c. Jest możliwe, by:

ca + bc = c^{2}. a^{3} + b^{3} = c^{3}. a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}} = c^{\frac{3}{2}}.

23. Niech n b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Niech P (x) = (2 − x)^{n}, Q(x) = (x + 2)^{n}, W (x) = P (x) + Q(x), T (x) = P (x) − Q(x).

Suma współczynników przy nieparzystych pot_{}egach wielomianu W może być dodatnia. Współczynnik przy x^{24} wielomianu T może być ujemny. Wielomian W jest parzysty.

24. Liczba 2^{2} · 3^{3} · 5^{5} · 7^{7} · 9^{9} ma 4 dzielniki złożone. 3168 dzielników złożonych. 5754 dzielniki złożone.

25*. Suma kwadratów dwóch różnych liczb pierwszych może dzielić si_{}e przez któr _{}aś z tych liczb. może dzielić si_{}e przez 3. może dzielić si_{}e przez 5.

26. Dane s _{}a ci _{}agi arytmetyczne 1, 5, 9, … oraz 7, 12, 17, . . .. Wówczas żadna liczba naturalna nie wyst_{}epuje jednocześnie w obu ci _{}agach. istnieje liczba wi_{}eksza od 2000, która wyst_{}epuje w obu ci _{}agach. liczba 1997 wyst_{}epuje w obu ci _{}agach.

27. Suma ∑ _{i=1}^{n} i^{5} jest równa \frac{1}{6}(n + 1)^{6} − \frac{1}{2}(n + 1)^{5} + \frac{5}{12}(n + 1)^{4} − \frac{1}{12}(n + 1)^{2}. ∑ _{i=n}^{2n} (i − n)^{5}. 4n^{5} − \frac{115}{4}n^{4} + \frac{245}{2}n^{3} − \frac{1083}{4}n^{2} + 294n − 120.

28. Dany jest sześcian ABCDEF GH, w którym odcinki AE i BF s _{}a kraw_{}edziami. Bryła ACF H jest czworościanem foremnym. Obj_{}etość bryły BDEG jest czterokrotnie mniejsza od obj_{}etości sześcianu ABCDEF GH. Proste AG i BH s _{}a prostopadłe.

29*. Równania ax^{2} + bx + c oraz dx^{2} + ex + f maj _{}a te same dwa pierwiastki. Z tego wynika, że

a = d. ae = bd. c + f = 0.

30. Funkcja f(x) = sin(cosx) dla wszystkich rzeczywistych x ma najwi_{}eksz _{}a wartość równ _{}a 1. jest okresowa. przyjmuje wartość 0 nieskończenie wiele razy.