.......................................................................  ...........  ................................
imië i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na IV Warsztaty Matematyczne

Klasa pierwsza

Na pytania odpowiada się �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” bądź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji:

Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty. Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1*. Nierówność a^{5} > a^{7} jest prawdziwa dla a < 0. 0 < a < 1. a < −1.

2. W pierwszych klasach w Staszicu można odrabiać prace domowe z chemii, geografii i biologii. Tylko chemi_{}e odrabia 29 uczniów, tylko biologi_{}e 58, zaś tylko geografi_{}e 73. Uczniów odrabiaj _{}acych zarówno chemi_{}e jak i biologi_{}e jest 15 (cz_{}eść z nich może odrabiać też geografi_{}e), biologi_{}e i geografi_{}e 20, geografi_{}e i chemi_{}e 17.

Jest możliwe, że dokładnie 110 osób odrabia geografi_{}e.

Jest możliwe, że biologi_{}e odrabia 95 osób.

Na pewno chemi_{}e odrabia przynajmniej 46 osób.

3*. Dany jest pi_{}eciok _{}at foremny ABCDE. Punkty F i G s _{}a takie, że trójk _{}aty ABF i CDG s _{}a równoboczne oraz punkt F leży wewn _{}atrz pi_{}eciok _{}ata ABCDE, a G na zewn _{}atrz.

K _{}at CDF wynosi 82^{∘}. K _{}at F DC wynosi 44^{∘}. K _{}at BGC wynosi 6^{∘}.

4. Onufry ma w szufladzie 15 czerwonych skarpetek, 19 żółtych i 13 w kolorze kawa z mlekiem. Onufry jest śpi _{}acy i nie patrzy jakie skarpetki wyci _{}aga z szuflady.

Onufry na pewno b_{}edzie miał par_{}e skarpetek jednego koloru jak wyci _{}agnie 5 skarpetek. Onufry na pewno b_{}edzie miał par_{}e skarpetek w kolorze kawa z mlekiem jeśli wyci _{}agnie

35 skarpetek.

Szansa że pierwsze dwie skarpetki wyci _{}agni_{}ete przez Onufrego b_{}ed _{}a tego samego koloru jest wi_{}eksza od 50%.

5. Szachownica n × n pomalowana tradycyjnie ma tyle samo pól czarnych i białych zawsze. gdy n = 421. gdy n = 2578.

6. Niech P (n) = 2^{n} + 3^{n} dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n.

7|P (543). Istnieje takie n > 1, że n|P (n). Istnieje takie n, że 7|(P (n) − 1)(P (n) − 3).

7. Dane s _{}a punkty A, B, C, D, E, F, przy czym |AB| = 21, |BC| = 68, |BD| = 51, |CD| = 85, |AE| = 201, |EF | = 11, |AF | = 191, |CF | = 102. Wówczas:

|AC| > 87. |AD| > |DC|. |∡AF E| > 90^{∘}.

8. Liczb_{}e 1234567890 można przedstawić jako:

sum_{}e dziewi_{}eciu kolejnych liczb naturalnych. sum_{}e pi_{}eciu kolejnych liczb naturalnych. sum_{}e dwóch kolejnych liczb naturalnych.

9. Suma dwóch liczb pierwszych dzieli si_{}e przez 3. może być liczb _{}a pierwsz _{}a. musi być liczb _{}a pierwsz _{}a.

10*. Dziadek napisał w rz _{}adku 2003 liczby. Babcia zauważyła, że każde cztery kolejne liczby w rz _{}adku Dziadka daj _{}a t_{}e sam _{}a sum_{}e. Wnuczek zdradził nam, że pierwsz _{}a liczb _{}a z rz _{}adku jest 7, pi_{}ećdziesi _{}at _{}a pierwsz _{}a 4, czwart _{}a zaś 23.

Możliwe jest, że setn _{}a liczb _{}a jest 13. 1001- _{}a liczb _{}a musi być 6. Liczb _{}a na pozycji 2002 musi być 23.

11. Skoczek szachowy na szachownicy n × n może obejść wszystkie pola szachownicy b_{}ed _{}ac na każdym dokladnie raz i wrócić do pola z którego zaczynał jeśli:

n = 3. n = 5. n = 81.

12. Dane s _{}a ci _{}agi arytmetyczne 1, 5, 9, … oraz 7, 12, 17, . . ..

Żadna liczba naturalna nie wyst_{}epuje jednocześnie w obu ci _{}agach. Istnieje liczba wi_{}eksza od 2000, która wyst_{}epuje w obu ci _{}agach. Liczba 1997 wyst_{}epuje w obu ci _{}agach.

13*. Z faktu, że liczby dodatnie a, b, c spełniaj _{}a warunek a + b < c wynika, że a^{2} + b^{2} < c^{2}. istnieje trójk _{}at o bokach a, b, c. ab < c.

14. Funkcja f : ℝ → ℝ jest nieparzysta, a g : ℝ → ℝ jest parzysta.

Funkcja h(x) = f^{2}(x) jest parzysta. Funkcja i(x) = f(g(x)) jest parzysta. Funkcja j(x) = (f(x) + g(x))^{2} jest parzysta.

15. Onufry i Joasia graj _{}a w nast_{}epuj _{}ac _{}a gr_{}e: na stole leż _{}a 102103 cukierki. Gr_{}e rozpoczyna Joasia, ruchy wykonuj _{}a na przemian. Ruch polega na zdj_{}eciu ze stosu 34, 51 lub 68 cukierków. Gr_{}e wygrywa gracz, który pozostawi na stole dokładnie k cukierków. Remis nast_{}epuje, gdy któryś gracz nie może wykonać ruchu. Onufry może wygrać gr_{}e, niezależnie od ruchów Joasi, jeśli:

k = 0. k = 1. k = 52.

16. Dany trójk _{}at ABC. Szukamy takich punktów D, E, F na odpowiednio bokach BC, CA, AB, że |DC| = |CE|, |DB| = |BF | i |EA| = |F A|.

Takie punkty D, E, F zawsze istniej _{}a. Jeśli punkty D, E, F istniej _{}a, to s _{}a punktami styczności okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at

ABC.

Jeśli punkty D, E, F istniej _{}a, to trójk _{}at DEF jest podobny do trójk _{}ata ABC.

17. Liczba 2^{2} · 3^{3} · 5^{5} · 7^{7} · 9^{9} ma 4 dzielniki złożone. 3168 dzielników złożonych. 5754 dzielników złożonych.

18. Dane s _{}a liczby całkowite dodatnie k i l i szachownica n×n. Ruch superskoczka polega na przesuni_{}eciu si_{}e o k pól w jednym z kierunków równoległych do kraw_{}edzi pól i o l w kierunku prostopadłym do poprzednio wybranego kierunku. Superskoczek może, b_{}ed _{}ac na dowolnym polu, dojść na dowolne inne, jeśli:

n = 2003, k = 84, l = 343. n = 2003, k = 1117, l = 1119. n = 2003, k = 1234, l = 17.

19. Prawdopodobieństwo znalezienia wśród 400 kandydatów do szkoły dwudziestu urodzonych tego samego dnia tygodnia jest

równe \frac{7}{20}. równe 1. równe \frac{1}{7}.

20. Czworok _{}at może mieć same k _{}aty rozwarte. same k _{}aty ostre. k _{}at wkl_{}esły i dwa k _{}aty rozwarte.

21. Dane jest 8 parami różnych liczb naturalnych. Wówczas wśród nich istniej _{}a takie dwie, których

suma jest podzielna przez 7. różnica jest podzielna przez 7. iloczyn jest podzielny przez 7.

22*. Równość |a_{1} + … + a_{n}| = |a_{1}| + … + |a_{n}|, gdzie a_{n} s _{}a liczbami rzeczywistymi, jest prawdziwa

dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n}. wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a_{1}, …, a_{n} s _{}a nieujemne. jeśli wszystkie spośród liczb a_{1}, …, a_{n} s _{}a ujemne.

23. W trójk _{}acie ABC odcinki AD, BE i CF s _{}a środkowymi. Niech |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c, |AD| = d, |BE| = e, |CF | = f, 2p = a + b + c, s = d + e + f.

s = p\sqrt{3}. s > p. s 2p.

24. Można podzielić sześciok _{}at foremny na 8 przystaj _{}acych trapezów. kwadrat na pi_{}eć przystaj _{}acych czworok _{}atów. kwadrat na 2004 pi_{}eciok _{}atów o równych polach.

25. Dany jest sześcian ABCDEF GH, w którym odcinki AE i BF s _{}a kraw_{}edziami. Bryła ACF H jest czworościanem foremnym. Obj_{}etość bryły BDEG jest czterokrotnie mniejsza od obj_{}etości sześcianu ABCDEF GH. Proste AG i BH s _{}a prostopadłe.

26. W sześciok _{}acie wypukłym, w którym żadne trzy przek _{}atne nie przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie

jest 15 przek _{}atnych. jest 15 przeci_{}eć przek _{}atnych (poza wierzchołkami). jest 20 przeci_{}eć przek _{}atnych (poza wierzchołkami).

27*. Liczba (2002 − 1) · (2000 − 2) · (1998 − 3) · . . . · (−2000 − 2002) · (−2002 − 2003) jest kwadratem liczby całkowitej. jest podzielna przez 7. ma ostatni _{}a cyfr_{}e 4.

28. Dla dowolnej funkcji f : ℝ → ℝ funkcja g(x) = f(x^{4}) jest parzysta. h(x) = f^{4}(x) jest parzysta. i(x) = f(x^{3}) jest nieparzysta.

29. Okr _{}ag z powierzchni _{}a czworościanu (ściany i kraw_{}edzie) może mieć dokładnie 6 punktów wspólnych. dokładnie 8 punktów wspólnych. dokładnie 10 punktów wspólnych.

30*. Na tym teście, pisz _{}ac odpowiedzi na każde pytanie i nie pisz _{}ac uzasadnień, można uzyskać

1 punkt. −100 punktów. 148 punktów.