Trzecie zawody indywidualne

grupa młodsza środa, 25 września 2002

61. Okręgi S i T przecinają się w punktach M i N. Niech k będzie wspólną styczną tych dwóch okręgów, przy czym punkt M leży bliżej prostej k niż punkt N. P i Q są punktami styczności prostej k odpowiednio z okręgami S i T. Prosta P N przecina okrąg T w punktach N i R. Udowodnij, że dwusieczna kąta ∡P MR jest zawarta w prostej MQ.

62. Udowodnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie, to:

a^{3}b + b^{3}c + c^{3}a a^{2}bc + b^{2}ca + c^{2}ab.

63. W pewnym państwie istnieje n miast i każde dwa łączy droga jednokierunkowa. Udowodnij, że istnieje miasto, z którego da się dojechać do każdego innego (niekoniecznie bezpośrednio).

64. Niech a_{1}, a_{2}, …, a_{7} będą liczbami całkowitymi, zaś b_{1}, b_{2}, …, b_{7} pewną ich permutacją (tymi samymi liczbami ustawionymi niekoniecznie w tej samej kolejności). Udowodnij, że (a_{1} − b_{1})(a_{2} − b_{2}) …(a_{6} − b_{6})(a_{7} − b_{7}) jest liczbą parzystą.

65. Rozstrzygnij, czy istnieje taki ciąg liczb całkowitych dodatnich (a_{n}), że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej k ciąg (b_{n}) zdefiniowany następująco: b_{n} = k + a_{n} dla n = 0, 1, 2, … zawiera skończoną liczbę wyrazów będących liczbami pierwszymi.

Trzecie zawody indywidualne

grupa starsza środa, 25 września 2002

65. Rozstrzygnij, czy istnieje taki ciąg liczb całkowitych dodatnich (a_{n}), że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej k ciąg (b_{n}) zdefiniowany następująco: b_{n} = k + a_{n} dla n = 0, 1, 2, … zawiera skończoną liczbę wyrazów będących liczbami pierwszymi.

66. Udowodnij, że każdy wielościan wypukły ma ścianę trójkątną lub kąt trójścienny.

67. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

4abc − a^{4} − b^{4} − c^{4} 1.

68. W pewnym języku są tylko dwie litery: A i B. Słowa z tego języka spełniają następujące warunki:

(a) Jedynym słowem o długości 1 jest A.

(b) Dowolna grupa liter X_{1}X_{2} …X_{n}X_{n+1} (gdzie X_{i} ∈ {A, B} dla i = 1, 2, …, n, n + 1) tworzy słowo długości n + 1, gdy zawiera choć jedną literę A i przy tym nie jest postaci X_{1}X_{2} …X_{n}A, gdzie X_{1}X_{2} …X_{n} jest słowem długości n.

Znajdź jawny wzór na liczbę słów długości n.

69. Na płaszczyźnie rozmieszczono nieskończenie wiele modliszek w taki sposób, by odległość między żadnymi dwiema nie była mniejsza niż 2 metry. Zakładamy, że modliszka porusza się z prędkością nie większą niż 10 metrów na minutę oraz że moze zabić inną tylko wtedy, gdy znajdują się w jednym punkcie. Ponadto owad umiera z rozpaczy natychmiast, gdy tylko upłynie minuta od chwili, gdy po raz ostatni zamordował współplemieńca. Udowodnij, że po kwadransie żadna modliszka nie ostanie się przy życiu.

610. W trójkącie ABC zachodzi AB > AC. Dwusieczna wewnętrzna kąta przy wierzchołku A przecina bok BC w punkcie D. E jest takim punktem na AB, że kąt ∡EDB jest prosty. F jest takim punktem na AC, że kąty ∡BED i ∡DEF są przystające. Udowodnij, że wówczas również kąty ∡BAD i ∡F DC są przystające.

Trzecie zawody indywidualne

grupa najstarsza środa, 25 września 2002

68. W pewnym języku są tylko dwie litery A i B. Słowa z tego języka spełniają następujące warunki:

(a) Jedynym słowem o długości 1 jest A.

(b) Dowolna grupa liter X_{1}X_{2} …X_{n}X_{n+1} (gdzie X_{i} ∈ {A, B} dla i = 1, 2, …, n, n + 1) tworzy słowo długości n + 1, gdy zawiera choć jedną literę A i przy tym nie jest postaci X_{1}X_{2} …X_{n}A, gdzie X_{1}X_{2} …X_{n} jest słowem długości n.

Znajdź jawny wzór na liczbę słów długości n.

69. Na płaszczyźnie rozmieszczono nieskończenie wiele modliszek w taki sposób, by odległość między żadnymi dwiema nie była mniejsza niż 2 metry. Zakładamy, że modliszka porusza się z prędkością nie większą niż 10 metrów na minutę oraz że moze zabić inną tylko wtedy, gdy znajdują się w jednym punkcie. Ponadto owad umiera z rozpaczy natychmiast, gdy tylko upłynie minuta od chwili, gdy po raz ostatni zamordował współplemieńca. Udowodnij, że po kwadransie żadna modliszka nie ostanie się przy życiu.

610. W trójkącie ABC zachodzi AB > AC. Dwusieczna wewnętrzna kąta przy wierzchołku A przecina bok BC w punkcie D. E jest takim punktem na AB, że kąt ∡EDB jest prosty. F jest takim punktem na AC, że kąty ∡BED i ∡DEF są przystające. Udowodnij, że wówczas również kąty ∡BAD i ∡F DC są przystające.

611. Niech X będzie zbiorem punktów płaszczyzny (x, y) o obu współrzędnych całkowitych. Drogą długości n nazywamy dowolny ciąg (P_{0}, P_{1}, …, P_{n}) punktów należących do X takich, że |P_{i}P_{i−1} | = 1 dla i = 1, 2, …, n. Niech F (n) będzie liczbą różnych dróg (P_{0}, P_{1}, …, P_{n}) o początku P_{0} = (0, 0) i końcu P_{n} należącym do prostej y = 0. Udowodnij, że F (n) = \binom{2n}{n}.

612. Pewnego dnia Karolek siedział sobie przed domem i rozmyślał. Nagle zobaczył na niebie n bocianów. Bystry umysł Karolka natychmiast pozwolił mu spostrzec, że może tak przestawić cyfry zapisu dziesiętnego liczby n, by po dodaniu tak otrzymanej liczby do n otrzymać liczbę 10^{100}. Udowodnij, że ostatnią cyfrą otrzymanej w wyniku przestawienia cyfr liczby było 0.

613. Okrąg O jest styczny do dwóch równoległych prostych l_{1} i l_{2}. Okrąg O_{1} jest styczny do prostej l_{1} w punkcie A i zewnętrznie do okręgu O w punkcie C. Okrąg O_{2} jest styczny do prostej l_{2} w punkcie B, zewnętrznie do okręgu O w punkcie D oraz zewnętrznie do okręgu O_{1} w punkcie E. Proste AD i BC przecinają się w punkcie Q. Udowodnij, że punkt Q jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie CDE.