Parę zadań troszkę trudniejszych od pozostałych

1. Znajdź wszystkie funkcje f : R → R spełniające dla każdych x, y, z, t rzeczywistych następujące równanie:

(f(x) + f(z))(f(y) + f(t)) = f(xy − zt) + f(xt + yz).

2. Różne gatunki pcheł naukowcy oznaczają różnymi liczbami dodatnimi rzeczywistymi, które to określają zdolność pcheł do skoku. Pchły zawsze skaczą jedna przez drugą i jeśli pchły z gatunku α są w punktach A i B i pchła z A skacze przez pchłę z B, to ląduje ona w puncie C takim, że B należy do odcinka AC i α · AB = BC. Na początku jest n > 1 pcheł na prostej k. Dla jakiej stałej gatunku α mogą one dojść dowolnie daleko skacząc tylko w jedną stronę prostej?

3. Rozważmy nieskończoną szachownicę, a na niej trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości całkowitej (kratka ma długość boku 1) i zawierających się w prostych dzielących kratki. Dla prostokątnego trójkąta o przyprostokątnych długości m i n niech f(m, n) będzie modułem różnicy między polem białej i czarnej części prostokąta.

(a) Policz f(m, n) dla m, n takich że 2|m − n.

(b) Udowodnij, że f(m, n) \frac{1}{2}max(m, n).

(c) Udowodnij, że f(m, n) nie jest ograniczone z góry.

4. W przestrzeni trójwymiarowej pomalowano 2000 punktów kratowych na czerwono i inne 2000 na niebiesko tak, że żaden dwa takie odcinki, że jeden koniec odcina jest punktem czerwonym, a drugi niebieskim, nie mają punktów wspólnych poza ewentualnymi wierzchołkami. Udowodnij, że dla każdego prostopadłościanu o wierzchołkach w punktach kratowych i krawędziach równoległych do osi układu współrzędnych, zawierającego wszystkie pomalowane punkty, objętość tego prostopadłościanu jest co najmniej 500000.

5. Rozważmy szachownicę o bokach m i n. Na każdym polu szachownicy leży karteczka. Karteczka jest z jednej strony biała, a z drugiej czarna. Na początku wszystkie kartki są białe na górze, tylko jedna w rogu jest czarna na górze. Ruch polega na usunięciu dowolnej czarnej kartki i odwróceniu wszystkich niezdjętych jej sąsiadów po boku. Dla jakich m i n da się opróżnić szachownicę?

6. Dwusieczne wewnętrzne kątów A, B i C trójkąta ABC przecinają okrąg opisany na nim w K, L i M odpowiednio. Niech R będzie punktem wewnętrznym boku AB. Punkty P i Q są określone następująco: RP ||AK, RQ||BL, BP jest prostopadłe do BL i AQ jest prostopadłe do AK. Udowodnij, że proste KP, LQ, MR się przecinają w jednym punkcie.

7. Niech trójkąt ostrokątny ABC ma ortocentrum w H i środek okręgu opisanego w O, zaś spodkiem wysokości BH niech będzie E. Niech punkt P będzie dowolnym punktem na łuku BC nie zawierającym A. Niech Q i R będą takimi punktami, że czworokąty P AQB i P ARC są równoległobokami. Proste HR i AQ przecinają się w X. Udowodnij, że proste AP i EX są równoległe.

8. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AB i punkt E dzieli bok BC w stosunku 2 : 1. Znajdź miarę kąta ∡BAC, jeśli kąty ∡ADC i ∡BAE są przystające.

9. Na bokach AB i CD czworokąta ABCD wpisanego w okrąg obrano punkty E i F takie, że \frac{AE}{BE} = \frac{CF}{DF} . Na odcinku EF obrano taki punkt P, że \frac{EP}{F P} = \frac{AB}{CD}. Udowodnij, że stosunek pól trójkątów ADP i BCP nie zależy od wyboru punktów E i F.

10. Niech d(n) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby n. Czy istnieje takie naturalne n > 1, że równanie a^{b} = b^{na} spełnia co najmniej d(n) + 2000 różnych par liczb całkowitych dodatnich (a, b)?