Seria łatwych teorioliczbowych zadań

kiedyśtam, któryś września 2002

TL1. Rozwiąż w liczbach całkowitych dodatnich x, y, z równanie:

105^{x} + 211^{y} = 106^{z}.

TL2. Udowodnij, że jeśli p_{1}, p_{2}, …, p_{n} są ciągiem pierwszych n > 1 liczb pierwszych, to p_{1}p_{2} …p_{n} ± 1 nie może być kwadratem liczby całkowitej.

TL3. Wyznacz wszystkie liczby całkowitej dodatnie n, dla których k jest kwadratem liczby całkowitej, jeśli:

(a) k = 2^{n} + 8n + 5

(b) k = 2^{n} + 3^{n} + 4^{n}

(c) k = 6^{n}5^{n}

(d) k = 7^{n}5^{n}

(e) k = 2^{n} + 65

(f) k = 3^{n} + 55

TL4. Sześć liczb pierwszych jest kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Udowodnij, że różnica tego ciągu jest nie mniejsza od 30.

TL5. Rozwiąż w liczbach całkowitych x, y równanie x^{3} − y^{3} = 91.

TL6. Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych p, q dla których p^{2} − p + 1 = q^{3}.

TL7. Rozwiąż w liczbach całkowitych dodatnich x, y, z równanie xy + yz + zx = xyz + 2.

TL8. Niech S(n) będzie sumą cyfr w zapisie dziesiętnym liczby n. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich n, dla których:

(a) S(3^{n}) S(3^{n+1} )

(b) S(2^{n}) > S(2^{n+1} )

TL9. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej M istnieje licza całkowita N taka, że S(2^{N}) > M.

TL10. Udowodnij, że równanie x^{3}+y^{3}+z^{3} = 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach całkowitych x, y, z.

TL11. Niech D(n) oznacza największą wspólną iwelokrotność liczb n, n + 1, …, n + 1989. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich, dla których D(n) > D(n + 1).

TL12. Udowodnij, że jeśli m i n są liczbami całkowitymi dodatnimi i \frac{m}{n} < \sqrt{2}, to \frac{m}{n} < \sqrt{2}(1 − \frac{1}{4n^{2}} ).

TL13. Udowodnij, że jeśli a > 1 i m są liczbami całkowitymi dodatnimi, to

NW D(\frac{a^{m} − 1}{a − 1} , a − 1) = NW D(a − 1, m).

TL14. Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n w przedziale [n, 2n] leży liczba całkowite dodatnia, która jest iloczynem dwóch liczb pierwszych.