Sprawdzian końcowy

grupa młodsza piątek, 27 września 2002

91. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC wpisany w okrąg ω. Proste zawierające wysokości AD, BE i CF przecinają okrąg ω odpowiednio w punktach A i K, B i L oraz C i M. Wyznacz możliwe wartości stosunku pola sześciokąta AMBKCL do pola trójkąta ABC.

92. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n zachodzi równość:

∑_{k=1}^{n} k(k − 1)\binom{n}{k} = n(n − 1)2^{n−2} .

93. W równoległoboku ABCD punkty K, L, M i N są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD oraz DA. Proste AM, BN, CK i DL ograniczają pewien równoległobok. Oblicz stosunek pola tego równoległoboku do pola równoległoboku ABCD.

94. Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych p oraz q, spełniających warunek:

p^{q} − q^{p} = 1.

95. Udowodnij, że jeżeli a, b są liczbami rzeczywistymi oraz b ≠ 0, to wielomian

W (x) = x^{4} + ax + b

nie ma czterech pierwiastków rzeczywistych.

96. We wnętrzu trójkąta równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnij, że istnieją wśród nich trzy, tworzące trójkąt (być może zdegenerowany) o obwodzie nie większym niż 3.

Sprawdzian końcowy

grupa starsza piątek, 27 września 2002

97. Rozstrzygnij, czy istnieją takie czworościany T_{1} i T_{2}, że objętość czworościanu T_{1} jest większa od objętości czworościanu T_{2}, ale pole żadnej ściany czworościanu T_{1} nie przekracza pola żadnej ściany czworościanu T_{2}.

98. Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej n prawdziwa jest następująca tożsamość:

∑_{k=m}^{n} k\binom{k − 1}{m − 1} = m\binom{n + 1}{m + 1} .

99. Ze zbioru liczb {1, 2, …, 2n} wybrano podzbiór (n + 1)-elementowy. Udowodnij, że w podzbiorze tym istnieją dwie różne liczby, z których jedna dzieli drugą.

910. Częścią wspólną dwóch jednakowych kwadratów jest ośmiokąt. Boki jednego z kwadratów zostały narysowane na oliwkowo, drugiego zaś na fioletowo. Udowodnij, że suma długości oliwkowych boków ośmiokąta jest równa sumie długości jego fioletowych boków.

911. Znajdź wszystkie różnowartościowe funkcje f : ℝ → ℝ takie, że

f(f(x) + y) = f(x + y) + 1 dla x, y ∈ R.

912. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, który nie jest trapezem. Proste AB i CD przecinają się w punkcie E, proste AD i BC przecinają się w punkcie F, zaś przekątne AC i BD przecinają się w punkcie G. Prosta F G przecina prostą AB w punkcie H. Udowodnij, że

\frac{AH}{BH} = \frac{AE}{BE} .

Sprawdzian końcowy

grupa najstarsza piątek, 27 września 2002

96. We wnętrzu trójkąta równobocznego o boku 12 wybrano 300 punktów. Udowodnij, że istnieją wśród nich trzy, tworzące trójkąt (być może zdegenerowany) o obwodzie nie większym niż 3.

912. Dany jest czworokąt wypukły ABCD, który nie jest trapezem. Proste AB i CD przecinają się w punkcie E, proste AD i BC przecinają się w punkcie F, zaś przekątne AC i BD przecinają się w punkcie G. Prosta F G przecina prostą AB w punkcie H. Udowodnij, że

\frac{AH}{BH} = \frac{AE}{BE} .

913. Dane są dwa okręgi przecinające się w punktach X i Y. Udowodnij, że istnieją cztery punkty o następującej własności: dla każdego okręgu stycznego do danych okręgów w A i B i przecinającego prostą XY w C i D każda z prostych AC, BC, AD, BD przechodzi przez jeden z tych punktów.

914. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych a, b, c ∈ [−1, 1] następujący układ równań:

\{ \begin{matrix}a = 3c − 4c^{3} \\ b = 3a − 4a^{3} \\ c = 3b − 4b^{3}. \end{matrix}

915. Rozstrzygnij, czy następujący układ równań ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych a, b, c, d, e 3:

\{ \begin{matrix}a + b + c + d + e = 3 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} = 39 \\ a^{3} + b^{3} + c^{3} + d^{3} + e^{3} = 57. \end{matrix}

916. Dana jest liczba całkowita n > 1. Niech d_{1}, d_{2}, …, d_{k} będą wszystkimi dodatnimi dzielnikami liczby n. Przyjmijmy D = d_{1}d_{2} + d_{2}d_{3} + … + d_{k−1} d_{k}.

(a) Wykaż, że D < n^{2}.

(b) Wyznacz wszystkie n, dla których n^{2} dzieli się przez D.