Pierwsze zawody indywidualne

grupa młodsza sobota, 21 września 2002

11. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniające dla wszystkich x, y ∈ ℝ zależność

f(x + y) = f(x^{2}) + f(y^{2}).

12. Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb a, b zachodzi nierówność

a^{5} + a^{3}b^{2} + a^{2}b^{3} + b^{5} 2(a^{4}b + ab^{4}).

13. Udowodnij, że jeżeli liczby a i m są względnie pierwsze, to istnieje liczba całkowita dodatnia n taka, że m|a^{n} − 1.

14. Z wierzchołka A trójkąta ABC poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie D. W trójkąty ABD i ADC wpisano okręgi styczne do BC odpowiednio w punktach E i F. Udowodnij, że |AD| + |BC| = \frac{|AB|+|AC|+|BC|}{2} + |EF |.

15. Rozważmy ciąg (a_{n}) określony następującymi zależnościami: a_{1} = 1, a_{n^{2}+k} = a_{n} + a_{k} dla n > 0, 0 < k 2n + 1. Rozstrzygnij, czy każda liczba całkowita dodatnia należy do tego ciągu.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa starsza sobota, 21 września 2002

14. Z wierzchołka A trójkąta ABC poprowadzono prostą przecinającą bok BC w punkcie D. W trójkąty ABD i ADC wpisano okręgi styczne do BC odpowiednio w punktach E i F. Udowodnij, że |AD| + |BC| = \frac{|AB|+|AC|+|BC|}{2} + |EF |.

15. Rozważmy ciąg (a_{n}) określony następującymi zależnościami: a_{1} = 1, a_{n^{2}+k} = a_{n} + a_{k} dla n > 0, 2n + 1 k > 0. Rozstrzygnij, czy każda liczba całkowita dodatnia należy do tego ciągu.

16. W jednym rzędzie ustawiono n słupków monet tak, że między każdymi dwoma słupkami tej samej wysokości znajduje się co najmniej jeden słupek wyższy. Najwyższy słupek zawiera k monet. Dla danej liczby k obliczyć największą możliwą wartość n.

17. Dane są trzy okręgi o promieniu 1 i środkach w wierzchołkach trójkąta ABC, przecinające się jak na rysunku. Udowodnij, że suma długości pogrubionych łuków wynosi π.

18. Na każdym polu szachownicy 1000 × 1000 napisano liczbę całkowitą. Liczby na dwóch polach o wspólnym boku różnią się o co najwyżej 100. Udowodnij, że istnieje liczba, którą na szachownicy napisano przynajmniej 6 razy.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa najstarsza sobota, 21 września 2002

16. W jednym rzędzie ustawiono n słupków monet tak, że między każdymi dwoma słupkami tej samej wysokości znajduje się co najmniej jeden słupek wyższy. Najwyższy słupek zawiera k monet. Dla danej liczby k obliczyć największą możliwą wartość n.

17. Dane są trzy okręgi o promieniu 1 i środkach w wierzchołkach trójkąta ABC, przecinające się jak na rysunku. Udowodnij, że suma długości pogrubionych łuków wynosi π.

18. Na każdym polu szachownicy 1000 × 1000 napisano liczbę całkowitą. Liczby na dwóch polach o wspólnym boku różnią się o co najwyżej 100. Udowodnij, że istnieje liczba, którą na szachownicy napisano przynajmniej 6 razy.

19. W sześciokącie wypukłym ABCDEF zachodzą równości |AB| = |BC|, |CD| = |DE| i |EF | = |F A|. Udowodnij, że

\frac{|CD|}{|AD|} + \frac{|EF |}{|CF |} + \frac{|AB|}{|EB|} \frac{3}{2}.

110. Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb x_{1}, …, x_{n}, gdzie n > 2 zachodzi następująca nierówność:

\frac{x_{1}}{x_{2} + x_{3}} + \frac{x_{2}}{x_{3} + x_{4}} + … + \frac{x_{n}}{x_{1} + x_{2}} \frac{n}{4}.