Niezbyt typowy wykład

poniedziałek, 23 września 2002

W3. Ciąg liczb naturalnych (p_{n}) spełnia następujące warunki: 1^{∘} p_{1} i p_{2} są liczbami pierwszymi, 2^{∘} dla n 3 liczba p_{n} jest największym dzielnikiem pierwszym liczby

p_{n−1} + p_{n−2} + 2000.

Udowodnij, że ciąg (p_{n}) jest ograniczony.

W4. W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A_{1}A_{2} …A_{n} każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60^{∘}. Dla każdej liczby naturalnej n 3 rozstrzygnij, czy można wybrać takie punkty B_{2}, B_{3}, …, B_{n} leżące odpowiednio na krawędziach A_{2}S, A_{3}S, …, A_{n}S, że

|A_{1}B_{2}| + |B_{2}B_{3}| + |B_{3}B_{4}| + … + |B_{n−1} B_{n}| + |B_{n}A_{1}| < 2 · |A_{1}S|.

W5. Dla danej liczby naturalnej n 2 znajdź najmniejszą liczbę k o następującej własności: z dowolnego k-elementowego zbioru pól szachownicy n×n można wybrać taki niepusty podzbiór, że liczba pól tego podzbioru w każdym wierszu i w każdej kolumnie jest parzysta.