................................................................. ........ ...................... Warsztaty weekendowe.

imię i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na III Warsztaty Matematyczne

Na pytania odpowiada się �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” bądź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji:

Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt.

Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Niech x = 2002^{2003} + 2003^{2002}.

Liczba x jest podzielna przez 3. Liczba x jest podzielna przez 7. Liczba x^{4} jest podzielna przez 5.

2. Rozważmy szachownicę kwadratową o boku n (n 4). W jej rogu stoi konik szachowy. Czy tenże konik

dla dowolnego n może dojść na każde pole szachownicy?

dla dowolnego n może obejść wszystkie pola szachownicy, będąc na każdym polu dokładnie raz i wrócić na pole startowe?

dla n = 1001 może dojść do przeciwnego rogu w co najwyżej 667 ruchach?

3*. Czy dla każdej liczby całkowitej dodatniej n > 1 istnieje wielokąt F, który ma dokładnie n osi symetrii? ma środek symetrii nie mając osi symetrii? ma dokładnie 2n wierzchołków i dokładnie n osi symetrii?

4. Na płaszczyźnie dane są różne punkty A, B, C, D, z których żadne trzy nie są współliniowe. Aby leżały na jednym okręgu wystarcza, by

|∡ADB| = |∡ACB|. |∡ACB| + |∡ADB| = 180^{∘}. środki okręgów opisanych na trójkątach △ ABC, △ ABD, △ ACD, △ BCD były

współliniowe.

5. W przestrzeni dane są różne punkty A, B, C, D. Na to, aby leżały one na jednej sferze

potrzeba, by nie były współpłaszczyznowe. wystarcza, by nie były współpłaszczyznowe. wystarcza, by leżały na jednym okregu.

6. Równanie a^{2}x^{2} + ax − 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dla każdej liczby rzeczywistej a. ma przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste dla każdej liczby rzeczywistej a. jeżeli ma jakiekolwiek rozwiązania rzeczywiste, to ma rozwiązania dodatnie.

7. Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC. Punkt H jest jego ortocentrum, punkt S – jego środkiem ciężkości, punkt O – środkiem opisanego na nim okręgu, punkt I – środkiem okręgu wpisanego. Aby trójkąt ABC był równoboczny wystarcza, by

I = H. S = O. I = O.

8. Przecinając czworościan foremny płaszczyzną w przekroju można otrzymać trójkąt nierównoramienny. trapez nierównoramienny. pięciokąt.

9*. Czy prawdą jest, że dla n > k > 0 \binom{n}{k} |\binom{2n}{2k} ?

\binom{n}{k} |\binom{n}{k+1} \binom{n+1}{k} ?

dla nieskończenie wielu liczb n zachodzi \binom{n}{7} |\binom{n}{10} ?

10. Iloczyn n 3 różnych liczb pierwszych może mieć więcej niż n dzielników. być mniejszy od 2^{(n−1)} · n!. być iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych.

11. Zbiór punktów przestrzeni zadanych nierównością x^{2} + y^{2} + z^{2} max{x, y, z} jest zawarty w pewnej kuli o promieniu 1. zawiera kulę o środku w punkcie (0, 0, 0) i promieniu \frac{1}{2}. jest prostopadłościanem.

12. Dany jest ciąg liczb naturalnych zdefiniowany wzorami: a_{1} = 1 i a_{n+1} = 3a_{n} + 4 dla n = 1, 2, 3, . . .. Czy w tym ciągu

istnieje wyraz podzielny przez 13? istnieje wyraz postaci x^{2} − 1, gdzie x ∈ ℕ? istnieje nieskończenie wiele wyrazów podzielnych przez 7?

13. Niech F będzie n-kątem wypukłym (n 5).

Może istnieć (n−2)-elementowy podzbiór zbioru jego przekątnych, w którym żadne dwie się nie przecinają (zakładamy, że dwie przekątne wychodzące z tego samego wierzchołka się nie przecinają).

Może istnieć co najmniej \frac{n^{4}}{24} różnych punktów, będących przecięciami co najmniej dwóch przekątnych F.

Niech A będzie pewnym (n − 3)-elementowym podzbiorem zbioru przekątnych F, w którym żadne dwie się nie przecinają. Czy dla każdej przekątnej X wielokąta F spoza zbioru A istnieje przekątna ze zbioru A, która nie przecina X?

14. Obszar zadany nierównościami: y > 3x^{2} − 1 i y < −x^{2} + 1 jest wypukły. nieograniczony. środkowosymetryczny.

15*. Funkcję f nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x zachodzi f(x) = f(−x). Dla dowolnej funkcji f

f(f(x)) jest funkcją parzystą. f(|x|) jest funkcją parzystą. |f(x)| jest funkcją parzystą.

16. Na parkingu stoi n gangsterów, odległości między nimi są różne. W samo południe każdy gangster strzelił do tego z pozostałych, który stał najbliżej niego. Zginęło k gangsterów (gangster strzela zawsze w środek czoła i zabija). Czy jest możliwe, aby

n = 6 i k = 1 ? n = 9 i k = 2 ? n = 11 i k = 3 ?

17. Od godziny 00:01 do godziny 00:01 następnego dnia wskazówki minutowa i godzinowa zegara

pokrywają się 22 razy. pokrywają się 24 razy. tworzą kąt prosty mniej niż 46 razy.

18. W wielomianie (x^{2} + x − 1)^{n} suma wszystkich współczynników jest zawsze nieujemna. suma współczynników przy parzystych potęgach może być ujemna. suma współczynników przy nieparzystych potęgach może być równa zero.

19. Niech f(x, y) = x^{2}+xy+y^{2}. Liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunki a+b+c = 0, b = \sqrt{ac}. Wówczas

f(a, b) + f(b, c) f(a, c). f(a, b) + f(b, c) f(a, c). \frac{1}{3}(f(a, b) + f(b, c) + f(c, a)) = −(ab + bc + ca).

20. Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek a + b + c = 1. Wtedy ab + bc + ca \frac{1}{3}. \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} 9. a^{2} + b^{2} + c^{2} \frac{1}{3}.

21*. Czy długości boków trójkąta prostokątnego mogą być wszystkie liczbami pierwszymi? kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego? wszystkie liczbami całkowitymi, które są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego

i najmniejsza z nich jest niepodzielna przez 3?

22. Liczba x jest niewymierna. Wtedy liczba x^{2} + x też musi być niewymierna. istnieje taka liczba całkowita n > 1, że x^{n} jest liczbą niewymierną. liczba x + \frac{1}{x} może być wymierna.

23*. W trójkącie ABC na bokach BC, AC, AB obrano odpowiednio takie punkty D, E i F, że trójkąty ABC, AEF, DBF, DEC są podobne (podobieństwo jest tutaj zapisane z uwzględnieniem kolejności wierzchołków).

Dla dowolnego △ ABC tak wybrane punkty D, E, F mogą być spodkami wysokości. Dla dowolnego △ ABC tak wybrane punkty D, E, F muszą być spodkami wyso-

kości.

Istnieje taki △ ABC, że tak wybrane punkty D, E, F są środkami jego boków.

24. Funkcję f : ℝ → ℝ nazywamy okresową, jeśli istnieje taka niezerowa liczba a, że dla każdego x zachodzi f(x + a) = f(x).

Funkcja f(x) = sinx · cosx jest okresowa.

Istnieje wielomian okresowy stopnia co najmniej 1.

Funkcja f(x) = \frac{sin^{2}x+1}{2} jest okresowa.

25*. W pewnym państwie jest n miast. Pomiędzy niektórymi z nich są drogi, przy czym dla dowolnie wybranych trzech miast istnieje dokładnie jedna lub dokładnie dwie z trzech możliwych łączących je dróg. Jest możliwe, aby

n = 4.

n = 5.
n = 6.

26. W turnieju gry w kropki startuje 2^{n} osób (n 3). Gra odbywa się systemem pucharowym. Dla dowolnych dwóch osób wiadomo z góry, jaki będzie wynik pojedynku między nimi oraz wiadomo, że jeśli osoba A wygrywa z osobą B i B wygrywa z C, to A wygrywa z C. Jeszcze nie rozlosowano kto z kim gra.

Co najmniej dwie osoby mają szansę na pierwsze miejsce.

Więcej niż 2^{n−1} osób może zająć drugie miejsce (dojść do finału i w nim przegrać). Dokładnie 2^{n−1} + 2^{n−2} + 1 osób może zająć czwarte miejsce lub lepsze (mecz o

trzecie miejsce odbywa się pomiędzy osobami, które odpadły w półfinałach).

27. Dla pewnego wielomianu trzeciego stopnia W (x) funkcja f(x) = |W (x)| przyjmuje wartość 1 dla sześciu argumentów a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}.

Taki wielomian W (x) istnieje dla dowolnych liczb a_{i}, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Wielomian W (x) musi mieć miejsce zerowe w przedziale (a_{1}, a_{3}). Wielomian W (x) może mieć miejsce zerowe w przedziale (a_{4}, a_{5}).

28. Suma ∑ _{i=1}^{n} i^{5} jest równa ∑ _{i=2n}^{3n} (i − 2n)^{5}. \frac{1}{6}(n + 1)^{6} − \frac{1}{2}(n + 1)^{5} + \frac{5}{12}(n + 1)^{4} − \frac{1}{12}(n + 1)^{2}. −120 + 294n − \frac{1083}{4}n^{2} + \frac{245}{2}n^{3} − \frac{115}{4}n^{4} + 4n^{5}.

29. Rozpatrzmy następujący warunek: istnieje taki ciąg geometryczny (a_{k}), że liczby a_{1}, …, a_{n} są całkowite, a wszystkie dalsze wyrazy ciągu: a_{n+1} , a_{n+2} , … nie są całkowite. Wówczas

tylko liczba n = 1 spełnia ten warunek.

nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich nie spełnia tego warunku.

każda dodatnia całkowita liczba n spełnia ten warunek.

30*. Spośród wszystkich funkcji g : ℝ → ℝ funkcja f(x) = x jest jedyną funkcją, dla której dla dowolnych x, y ∈ ℝ

f(x − y) · f(x + y) = x^{2} − y^{2}.

f(x) + f(y) = f(x + y).
f(x) · f(y) = f(xy).