Kółko z okazji 3 grudnia

03.12.2009

1. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich x, a_{1}, a_{2}, …, a_{n} zachodzi nierówność:

\frac{1}{a_{1} + x} + \frac{a_{1}}{(a_{1} + x)(a_{2} + x)} + ... + \frac{a_{1}a_{2}...a_{n−1}}{(a_{1} + x)(a_{2} + x)...(a_{n} + x)} < \frac{1}{x}.

2. Punkty D i E leż _{}a odpowiednio na bokach BC i AC trójk _{}ata ABC. Odcinki AD i BE przecinaj _{}a się w punkcie P. Punkty K i L leż _{}a odpowiednio na bokach BC i AC, przy czym czworok _{}at CLP K jest równolełgobokiem. Dowieść, że:

\frac{AE}{EL} = \frac{BD}{DK} .

3. Wykazać, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{1}{a(1 + b)} + \frac{1}{b(1 + c)} + \frac{1}{c(1 + a)} ⩾ \frac{3}{1 + abc} .

4. Rozwi _{}azać równanie:

(x^{2n} + y^{2n} + z^{2n})^{2} = 2(x^{4n} + y^{4n} + z^{4n})

w liczbach całkowitych dodatnich (x, y, z).