Zadania nieco trudniejsze niż inne do rozwiązywania w wolnych chwilach.

1. Udowodnij, że dla dowolnego n > 3 każdy czworokąt wpisywalny w koło daje się rozbić na n czworokątów wpisywalnych w koło.

2. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n niepodzielnej przez 2 ani przez 5 istnieje taka jej wielokrotność, która w zapisie dziesiętnym składa się z samych jedynek.

3. Punkty P i Q znajdują się wewnątrz trójkąta ostrokątnego △ABC, przy czym |∠BAP | = |∠QAC| oraz |∠ABP | = |∠QBC|. Okrąg o średnicy CP przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach K i L; okrąg o średnicy CQ przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach N i M. Udowodnij, że na czworokącie KLMN można opisać okrąg.

4. Niech A = (a_{ij}), gdzie i, j = 1, 2, …, n jest kwadratową tablicą zawierającą w i-tym wierszu i j-tej kolumnie liczbę a_{ij}, przy czym wszystkie a_{ij} są całkowite nieujemne. Dla każdego i, j takiego, że a_{ij} = 0, suma liczb w i-tym wierszu i j-tej kolumnie jest co najmniej n. Udowodnij, że suma wszystkich liczb w tablicy wynosi przynajmniej \frac{n^{2}}{2} .

5. Na płaszczyźnie danych jest 100 punktów, z których żadne trzy nie leżą na jednej prostej. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty o wierzchołkach w tych punktach. Udowodnij, że wśród nich jest co najwyżej 70% trójkątów ostrokątnych.

6. a) Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n 2 zachodzi podzielność (n!)^{n+1} |(n^{2})!

6. b) Znajdź wszystkie liczby naturalne n 2, dla których zachodzi podzielność (n!)^{n+2} |(n^{2})!

6. c) Znajdź taką liczbę naturalną n 2, że zachodzi podzielność (n!)^{n+3} |(n^{2})!

7. Dane są liczby wymierne a_{1}, …, a_{2n+1} spełniające warunek: jeśli pominiemy którąkolwiek z nich, to pozostałe można podzielić na 2 grupy po n liczb w ten sposób, że sumy liczb z obu grup są równe. Wykaż, że a_{1} = a_{2} = … = a_{2n+1} .

8. Rozważmy nieskończoną szachownicę o ponumerowanych liczbami całkowitymi wierszach i kolumnach. W kolumnach o numerach niedodatnich na każdym polu stoi pion. Ruch polega na wybraniu dwóch sąsiadujących w wierszu lub kolumnie pionów, a następnie przeskoczeniem jednym z nich przez drugi i zdjęciem drugiego. Ruch wolno wykonać tylko o ile pole, na które skaczemy, jest puste. Udowodnij, że w skończonej liczbie ruchów nie da się doprowadzić żadnego z pionów do piątej kolumny.

9. Dany jest trójkąt △ABC oraz okrąg S opisany na nim. Punkt P leży na tym łuku AB, na którym nie leży punkt C. O_{1} i O_{2} to środki okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty △AP C i △BP C. Wykaż, że istnieje punkt T, przez który, niezależnie od położenia punktu P, przechodzi okrąg opisany na trójkącie O_{1}O_{2}P.

10. Udowodnij, że jeśli w grupie n osób każde dwie mają dokładnie jednego wspólnego znajomego, to istnieje wśród nich osoba, która zna wszystkich.