Potęga punktu względem okręgu

1. Dany jest odcinek P B i punkt A należący do tego odcinka. Znajdź zbiór punktów styczności okręgów przechodzących przez A i B do prostych przechodzących przez punkt P, stycznych do tych okręgów.

2. Na kartce narysowany jest łuk okręgu, którego środek leży poza kartką. Przez dany punkt P, leżący na tej kartce, poprowadź proste styczne do tego łuku.

3. Punkty A, B, C, D leżą na jednej prostej, w tej właśnie kolejności. Przez punkty A i B prowadzimy okrąg o_{1}, przez punkty C i D prowadzimy okrąg o_{2}. Okręgi te przecinają się w punktach E i F. Wykaż, że przy ustalonych punktach A, B, C, D, dla wszystkich par okręgów o_{1} i o_{2} proste EF przechodzą przez stały punkt.

4. Sześciokąt wypukły ABCDEF spełnia warunki: AB = BC, CD = DE, EF = F A. Wykaż, że proste zawierające wysokości trójkątów BCD, DEF, F AB, poprowadzone odpowiednio z wierzchołków C, E, A, przecinają się w jednym punkcie.

5. Dany jest okrąg o oraz różne punkty A, B, S, nie należące do tego okręgu. Skonstruuj taki okrąg o_{1}, przechodzący przez punkty A i B, przecinający okrąg o, by punkt S był współliniowy z punktami przecięcia okręgów o i o_{1}.

6. Punkt P należy do wnętrza koła k. Opisz na kole k taki trapez równoramienny, by jego przekątne przecinały się w punkcie P.

Elipsa

1. Znajdź zbiór obrazów ogniska elipsy w symetriach względem prostych stycznych do tej elipsy.

2. Znajdź zbiór rzutów prostokątnych ogniska elipsy na proste styczne do tej elipsy.

3. Okręgi o_{1} = o(A, r_{1}) i o_{2} = o(B, r_{2}) są rozłączne wewnętrznie. Znajdź zbiór środków okręgów wewnętrznie stycznych do jednego z tych okręgów, a zewnętrznie stycznych do drugiego.

4. Wykaż, że iloczyn odległości ognisk danej elipsy od prostej stycznej do tej elipsy nie zależy od wyboru stycznej.

5. Znajdź zbiór punktów, z których daną elipsę widać pod kątem prostym.

6. W trójkącie ABC punkt O jest środkiem okręgu opisanego, punkt H – ortocentrum. Udowodnij, że na bokach AB, BC, CA istnieją odpowiednio takie punkty F, E, D, że OD + DH = OE + EH = OF + F H.