Pierwsza łatwa seria powtórzeniowa

grupa młodsza środa, 26 września 2001

41. Udowodnij, że

∑_{k=1}^{n} (2k − 1) = n^{2}.

42. Udowodnij, że

2^{k}\binom{n}{k} = ∑_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n − i}{k − i} .

43. Liczby a_{1}, a_{2}, …, a_{n} są dodatnie, n 2. Udowodnij, że \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + … + \frac{a_{n}}{a_{1}} n.

44. Na ile sposobów można usadzić przy okrągłym stole uczestników warsztatów (33 osoby) tak, żeby Marcin Pilipczuk nie siedział obok Wojtka Czerwińskiego?

Uwaga: Utożsamiamy obroty stołu.

45. Mamy 4 kawałki papieru. Jeden z nich rozdzieramy na 4 części, otrzymując w sumie 7 kawałków, następnie jeden z tych 7 znów rozdzieramy na 4 i tak dalej. Czy możemy w ten sposób otrzymać 2001 kawałków papieru?

46. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że 8p^{2} + 1 jest liczbą pierwszą.

47. Niech p i q będą różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba p^{q−1} + q^{p−1} daje resztę 1 przy dzieleniu przez pq.

48. Dany jest trójkąt ABC oraz dwa okręgi O_{1} i O_{2} styczne zewnętrznie w punkcie T, styczne do boku BC oraz takie, że O_{1} jest styczny do boku AC i O_{2} jest styczny do boku AB. Prosta BT przecina okrąg O wpisany w trójkąt ABC w punktach P_{1} i P_{2}, przy czym P_{1} należy do odcinka BP_{2}. Prosta CT przecina okrąg wpisany w trójkąt ABC w punktach Q_{1} i Q_{2}, przy czym Q_{1} należy do odcinka CQ_{2}. Wykaż, że P_{2}Q_{2} jest średnicą okręgu O.

49. Dany jest trójkąt ABC oraz dodatnia liczba a. Wpisz w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by jego dwa sąsiednie wierzchołki należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i CA.

Pierwsza łatwa seria powtórzeniowa

grupa starsza środa, 26 września 2001

46. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że 8p^{2} + 1 jest liczbą pierwszą.

47. Niech p i q będą różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba p^{q−1} + q^{p−1} daje resztę 1 przy dzieleniu przez pq.

410. Liczby całkowite dodatnie a, b spełniają warunki: a|b^{2}, b^{2}|a^{3}, a^{3}|b^{4},itd. Udowodnij, że wówczas a = b.

48. Dany jest trójkąt ABC oraz dwa okręgi O_{1} i O_{2} styczne zewnętrznie w punkcie T, styczne do boku BC oraz takie, że O_{1} jest styczny do boku AC i O_{2} jest styczny do boku AB. Prosta BT przecina okrąg O wpisany w trójkąt ABC w punktach P_{1} i P_{2}, przy czym P_{1} należy do odcinka BP_{2}. Prosta CT przecina okrąg wpisany w trójkąt ABC w punktach Q_{1} i Q_{2}, przy czym Q_{1} należy do odcinka CQ_{2}. Wykaż, że P_{2}Q_{2} jest średnicą okręgu O.

49. Dany jest trójkąt ABC oraz dodatnia liczba a. Wpisz w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by jego dwa sąsiednie wierzchołki należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i CA.

411. Niech H będzie ortocentrum trójkąta △ABC, a punkty O_{1}, O_{2}, O_{3} – środkami okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach △BHC, △CHA, △AHB. Wykaż, że proste AO_{1}, BO_{2}, CO_{3} przecinają się w jednym punkcie.

42. Udowodnij, że

2^{k}\binom{n}{k} = ∑_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n − i}{k − i} .

412. Uczestnicy i kadra warsztatów (40 osób) chcą usiąść przy kwadratowym stole (na każdym boku jest 10 miejsc). Na ile sposobów mogą usiąść tak, aby Marcin Pilipczuk nie siedział obok Wojtka Czerwińskiego?

Uwagi:

(a) usadzenia różniące się tylko obrotem stołu o 90^{∘} uznajemy za tożsame;

(b) dwa miejsca przy jednym rogu uznajemy za sąsiednie.

413. W pewnym głosowaniu ”Samoobrona” otrzymała p głosów, a ”Liga Polskich Rodzin” q głosów, przy czym p > q. Wykaż, że prawdopodobieństwo, iż w trakcie obliczania głosów było cały czas:

(a) więcej głosów na ”Samoobronę” niż na ”Ligę Polskich Rodzin” jest równe \frac{p−q}{p+q} ;

(b) nie mniej głosów na ”Samoobronę” niż na ”Ligę Polskich Rodzin” jest równe \frac{p+1−q}{p+1} .

Zadania powtórzeniowe i nie tylko

grupa najstarsza środa, 26 września 2001

411. Niech H będzie ortocentrum trójkąta △ABC, a punkty O_{1}, O_{2}, O_{3} – środkami okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach △BHC, △CHA, △AHB. Wykaż, że proste AO_{1}, BO_{2}, CO_{3} przecinają się w jednym punkcie.

414. W pewnym głosowaniu ”Samoobrona” otrzymała p głosów, a ”Liga Polskich Rodzin” q głosów, przy czym p > q. Oblicz prawdopodobieństwa, iż w trakcie obliczania głosów było cały czas:

(a) więcej głosów na ”Samoobronę” niż na ”Ligę Polskich Rodzin”;

(b) nie mniej głosów na ”Samoobronę” niż na ”Ligę Polskich Rodzin”.

415. Dany jest trójkąt ABC. W kąty przy wierzchołkach A i B wpisz dwa przystające, zewnętrznie styczne okręgi.

416. Ciągi a_{n} i b_{n} zadane są następującymi wzorami: a_{1} = \sqrt{2}, b_{1} = 2, a_{n+1} = \sqrt{−\sqrt{4 − (a_{n})^{2}} + 2} ,

b_{n+1} = ^{\frac{2\sqrt{4+(b_{n})^{2}} −4}{b_{n}}} . Udowodnij, że istnieje stała c ∈ ℝ taka, że |a_{n} − b_{n}| < c · 8^{−n} .

417. Trójkąt równoboczny podzielono na 9 000 000 przystających trójkątów równobocznych prostymi równoległymi do jego boków. Każdy wierzchołek każdego małego trójkąta pokolorowano na jeden z trzech kolorów. Udowodnij, że istnieją trzy punkty tego samego koloru, które są wierzchołkami trójkąta o bokach równoległych do boków pierwotnego trójkąta.