Pierwsze zawody indywidualne

grupa młodsza niedziela, 23 września 2001

11. Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność

a + b + c \frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a}+ \frac{ca}{b}.

12. Wykaż, że liczby naturalne n, m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby 2^{n} − 1, 2^{m} − 1 są względnie pierwsze.

13. Niech a będzie liczbą całkowitą, n – liczbą naturalną > 1. Wykaż, że liczba \sqrt[n]{a} jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita.

14. Na bokach trójkąta △ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne △ABF, △BCD i △CAE.

a) Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △ABF, △BCD i △CAE są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

b) Udowodnij, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie P.

c) Wykaż, że |AP | + |BP | + |CP | |AR| + |BR| + |CR| dla każdego punktu R.

Pierwsze zawody indywidualne

grupa starsza niedziela, 23 września 2001

13. Niech a będzie liczbą całkowitą, n – liczbą naturalną > 1. Wykaż, że liczba \sqrt[n]{a} jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita.

14. Na bokach trójkąta △ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne △ABF, △BCD i △CAE.

a) Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △ABF, △BCD i △CAE są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

b) Udowodnij, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie P.

c) Wykaż, że |AP | + |BP | + |CP | |AR| + |BR| + |CR| dla każdego punktu R.

15. Dana jest funkcja f : ℕ → ℕ, dla której f(n + 1) > f(f(n)) dla każdego n ∈ ℕ. Udowodnij, że f(n) = n dla każdego n.

16. Rozważamy wszystkie r-elementowe podzbiory zbioru 1, …, n (r ∈ ℕ, 1 r n). W każdym z nich wybieramy liczbę najmniejszą. Udowodnić, że średnia arytmetyczna tych liczb jest równa \frac{n+1}{r+1} .