Pierwsze zawody indywidualne

grupa starsza niedziela, 23 września 2001

13. Niech a będzie liczbą całkowitą, n – liczbą naturalną > 1. Wykaż, że liczba \sqrt[n]{a} jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita.

14. Na bokach trójkąta △ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne △ABF, △BCD i △CAE.

a) Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △ABF, △BCD i △CAE są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

b) Udowodnij, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie P.

c) Wykaż, że |AP | + |BP | + |CP | |AR| + |BR| + |CR| dla każdego punktu R.

15. Dana jest funkcja f : ℕ → ℕ, dla której f(n + 1) > f(f(n)) dla każdego n ∈ ℕ. Udowodnij, że f(n) = n dla każdego n.

16. Rozważamy wszystkie r-elementowe podzbiory zbioru 1, …, n (r ∈ ℕ, 1 r n). W każdym z nich wybieramy liczbę najmniejszą. Udowodnić, że średnia arytmetyczna tych liczb jest równa \frac{n+1}{r+1} .

Drugie zawody indywidualne - dzień pierwszy

grupa starsza poniedziałek, 24 września 2001

21. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie x + y = xy.

23. Dana jest liczba rzeczywista a. Udowodnij, że jeżeli liczba a + \frac{1}{a} jest całkowita, to dla dowolnej liczby całkowitej n liczba a^{n} + \frac{1}{a^{n}} jest całkowita.

25. Niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD. Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △P AB, △P BC, △P CD, △P DA tworzą równoległobok.

27. Punktem kratowym nazywamy punkt płaszczyzny mający obie współrzędne całkowite. Dowieść, że na płaszczyźnie nie można umieścić trójkąta równobocznego tak, aby jego wierzchołki były w punktach kratowych.

28. Dany jest zbiór M złożony z 2001 różnych liczb całkowitych dodatnich, z których żadna nie dzieli się przez liczbę pierwszą większą od 27. Udowodnić, że ze zbioru M można wybrać cztery różne liczby, których iloczyn jest czwartą potęgą liczby całkowitej.

29. Rozważamy następującą grę jednoosobową: pozycja w grze składa się ze skończonego zbioru zaznaczonych punktów kratowych i ze skończonego zbioru zaznaczonych odcinków, które muszą spełniać następujące warunki:

a) końce każdego zaznaczonego odcinka są zaznaczonymi punktami kratowymi;

b) każdy zaznaczony odcinek jest równoległy do jednej z osi układu współrzędnych lub do jednej z dwóch prostych o równaniach y = x, y = −x;

c) każdy zaznaczony odcinek zawiera dokładnie 5 punktów kratowych i każdy z tych punktów jest zaznaczony;

d) dowolne dwa zaznaczone odcinki mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Ruch w grze polega na zaznaczeniu nowego punktu kratowego, a następnie zaznaczeniu

nowego odcinka w taki sposób, by powstała nowa pozycja w grze. Rozstrzygnij, czy istnieje taka pozycja początkowa w grze, że możliwe jest wykonanie nieskończonego ciągu ruchów.

Drugie zawody indywidualne - dzień drugi

grupa starsza wtorek, 25 września 2001

34. Udowodnij, że dla liczb całkowitych n > 1

∑_{k=1}^{n} k(k − 1)\binom{n}{k} = n(n − 1) 2^{n−2} .

35. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele trójek x, y, z liczb całkowitych, spełniających równanie x^{2} + y^{2} − z^{2} = 2001.

36. Na bokach równoległoboku ABCD zbudowano na zewnątrz kwadraty. Udowodnij, że ich środki tworzą kwadrat.

37. Udowodnij, że dowolną liczbę wymierną można przedstawić jako sumę ułamków prostych, tzn. ułamków nieskracalnych o mianownikach będących potęgami liczb pierwszych.

38. Na płaszczyźnie dany jest skończony zbiór punktów mających obie współrzędne całkowite. Czy można pokolorować pewne punkty tego zbioru na czerwono, a pozostałe na biało, w taki sposób, że dla każdej prostej ℓ równoległej do którejkolwiek osi układu współrzędnych wartość bezwzględna różnicy między liczbą punktów białych i czerwonych na prostej ℓ jest nie większa od 1 ?

39. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg S_{1}. Styczna do okręgu S_{1} w punkcie A przecina prostą BC w punkcie D. Okrąg S_{2} jest styczny do prostej BC w punkcie D i przechodzi przez punkt A. Punkt E jest drugim (oprócz A) punktem przecięcia okręgów S_{1} i S_{2}. Udowodnij, że \frac{EB}{EC} = \frac{AB^{3}}{AC^{3}} .

Pierwsza łatwa seria powtórzeniowa

grupa starsza środa, 26 września 2001

46. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że 8p^{2} + 1 jest liczbą pierwszą.

47. Niech p i q będą różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba p^{q−1} + q^{p−1} daje resztę 1 przy dzieleniu przez pq.

410. Liczby całkowite dodatnie a, b spełniają warunki: a|b^{2}, b^{2}|a^{3}, a^{3}|b^{4},itd. Udowodnij, że wówczas a = b.

48. Dany jest trójkąt ABC oraz dwa okręgi O_{1} i O_{2} styczne zewnętrznie w punkcie T, styczne do boku BC oraz takie, że O_{1} jest styczny do boku AC i O_{2} jest styczny do boku AB. Prosta BT przecina okrąg O wpisany w trójkąt ABC w punktach P_{1} i P_{2}, przy czym P_{1} należy do odcinka BP_{2}. Prosta CT przecina okrąg wpisany w trójkąt ABC w punktach Q_{1} i Q_{2}, przy czym Q_{1} należy do odcinka CQ_{2}. Wykaż, że P_{2}Q_{2} jest średnicą okręgu O.

49. Dany jest trójkąt ABC oraz dodatnia liczba a. Wpisz w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by jego dwa sąsiednie wierzchołki należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i CA.

411. Niech H będzie ortocentrum trójkąta △ABC, a punkty O_{1}, O_{2}, O_{3} – środkami okręgów opisanych odpowiednio na trójkątach △BHC, △CHA, △AHB. Wykaż, że proste AO_{1}, BO_{2}, CO_{3} przecinają się w jednym punkcie.

42. Udowodnij, że

2^{k}\binom{n}{k} = ∑_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n − i}{k − i} .

412. Uczestnicy i kadra warsztatów (40 osób) chcą usiąść przy kwadratowym stole (na każdym boku jest 10 miejsc). Na ile sposobów mogą usiąść tak, aby Marcin Pilipczuk nie siedział obok Wojtka Czerwińskiego?

Uwagi:

(a) usadzenia różniące się tylko obrotem stołu o 90^{∘} uznajemy za tożsame;

(b) dwa miejsca przy jednym rogu uznajemy za sąsiednie.

413. W pewnym głosowaniu ”Samoobrona” otrzymała p głosów, a ”Liga Polskich Rodzin” q głosów, przy czym p > q. Wykaż, że prawdopodobieństwo, iż w trakcie obliczania głosów było cały czas:

(a) więcej głosów na ”Samoobronę” niż na ”Ligę Polskich Rodzin” jest równe \frac{p−q}{p+q} ;

(b) nie mniej głosów na ”Samoobronę” niż na ”Ligę Polskich Rodzin” jest równe \frac{p+1−q}{p+1} .

Pierwsze zawody drużynowe

grupa starsza środa, 26 września 2001

57. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y, z

\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \sqrt{6(x + y + z)} .

58. Niech k, n będą ustalonymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Oblicz

∑_{n_{1}+...+n_{k}=n} \frac{n!}{n_{1}! · . . . · n_{k}!}.

511. Rozpatrujemy rozkłady szachownicy 8×8 na p nie zachodzących na siebie prostokątów spełniające następujące warunki:

(a) Każdy prostokąt składa się z pewnej liczby pól szachownicy, przy czym liczba pól białych równa jest liczbie pól czarnych.

(b) Jeżeli a_{i} jest liczbą pól w i-tym prostokącie, to a_{1} < a_{2} < … < a_{p}.

Znajdź największą wartość p, przy której jest możliwy taki rozkład i wyznacz dla tej wartości p wszystkie ciągi a_{1}, a_{2}, …, a_{p}, dla których można taki rozkład zrealizować.

512. Prostokąt został podzielony na mniejsze prostokąty, z których każdy ma co najmniej jeden bok o długości będącej liczbą całkowitą. Wykaż, że przynajmniej jeden bok dużego prostokąta ma długość całkowitą.

513. Pewien obszar leśny podzielono na 100 działek rekreacyjnych o tej samej powierzchni. Jednocześnie strażacy podzielili ten obszar inaczej na 100 sektorów o tej samej powierzchni. Udowodnij, że można na tym obszarze wykopać 100 studni tak, by na każdej działce i w każdym sektorze była jedna z nich (studnia jest punktem i nie może znajdować się na żadnej linii podziału).

514. Na stole bilardowym w kształcie trójkąta, którego miary kątów są współmierne pchnięto kulę z pewnego punktu wewnętrznego. Kula odbija się od ścian zgodnie z prawem ”kąt padania równy kątowi odbicia”. Udowodnij, że liczba kierunków w jakich może się poruszać kula jest skończona (zakładamy, że kula nie trafia w wierzchołek trójkąta). Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

515. Niech p będzie liczbą pierwszą większą od 2, k liczbą naturalną taką, że 0 < k < p − 1. Udowodnij, że liczba

∑_{i=1}^{p−1} i^{k}

dzieli się przez p.

516. Punkty A i B leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez punkty C i D. Skonstruuj taki punkt M leżący na prostej CD, że kąt ∠AMC jest dwa razy większy od kąta ∠BMD.

517. Okrąg S jest styczny do ramion kąta o wierzchołku A w punktach B i C. Na półprostej AB^{→} obieramy poza odcinkiem AB dowolny punkt D. Niech P będzie punktem przecięcia okręgu S z okręgiem opisanym na △ACD różnym od C, zaś punkt Q rzutem prostokątnym punktu B na prostą CD. Udowodnij, że |∠DP Q| = 2 · |∠ADC|.

518. Niech v(k) oznacza minimalną liczbę naturalną taką, że dowolna liczba naturalna n da się przedstawić jako suma wziętych z + lub − k-tych potęg liczb całkowitych, tzn.

n = ∑_{i=1}^{v(k)} ±x_{i}^{k},

x_{i} ∈ ℤ. Udowodnij, że: 4 v(3) 5.

Trzecie zawody indywidualne

grupa starsza czwartek, 27 września 2001

61. Liczby a_{1}, …, a_{5} są całkowite, liczby b_{1}, …, b_{5} to pewna ich permutacja. Udowodnij, że liczba (a_{1} − b_{1}) …(a_{5} − b_{5}) jest parzysta.

63. Na płaszczyźnie danych jest n prostych. Wykaż, że pola, na które te proste dzielą płaszczyznę, można pomalować dwoma kolorami w taki sposób, by żadne dwie figury sąsiadujące ze sobą wzdłuż odcinka (albo półprostej lub prostej) nie były pomalowane tym samym kolorem.

64. W trapezie ABCD boki AB oraz CD są równoległe, proste zawierające boki AD i BC przecinają się w punkcie O, przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty M i N są środkami odpowiednio boków CD i AB. Udowodnij, że punkty O, M, E, N są współliniowe.

65. Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to p | 5^{p} − 2 · 3^{p} + 1.

66. Udowodnij, że środkiem ciężkości obwodu trójkąta jest środek okręgu wpisanego w trójkąt utworzony przez środki jego boków.

67. Wykaż, że jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to n | 2^{n!} − 1.

Druga łatwa seria powtórzeniowa

grupa starsza czwartek, 27 września 2001

73. Okręgi dopisane do trójkąta ABC są styczne do boków BC, CA i AB odpowiednio w punktach P, Q i R. Wykaż, że proste AP, BQ i CR przecinają się w jednym punkcie.

75. Wielomian W (x) = a_{n}x^{n} + … + a_{1}x + a_{0} ma współczynniki całkowite. Udowodnij, że nie jest możliwe, by W (7) = 11 i jednocześnie W (11) = 13.

76. Niech a będzie liczbą całkowitą, p liczbą pierwszą nieparzystą. Udowodnij, że istnieje para liczb całkowitych (x, y) spełniająca warunki: (x, y) ≠ (0, 0), p | ax − y, |x| [\sqrt{p}], |y| [\sqrt{p}].

77. W trójkącie ABC punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Punkty E i F leżą odpowiednio na prostych AC i AB, przy czym proste BE i CF przecinają się na wysokości AD. Wykaż, że ∡ADE = ∡ADF.

78. Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} , dla których abcd = 2001, zachodzi nierówność:

3(\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{d} + \frac{a^{2}b^{2}d^{2}}{c} + \frac{a^{2}c^{2}d^{2}}{b} + \frac{b^{2}c^{2}d^{2}}{a})

a^{2}b^{2}c + a^{2}bc^{2} + ab^{2}c^{2} + a^{2}b^{2}d + a^{2}bd^{2} + ab^{2}d^{2} + a^{2}c^{2}d + a^{2}cd^{2} + ac^{2}d^{2} + b^{2}c^{2}d + b^{2}cd^{2} + bc^{2}d^{2}.

79. Dany jest zbiór S złożony z n elementów. Niech M_{1}, M_{2}, …, M_{n+1} będą niepustymi podbiorami zbioru S. Wykaż, że istnieją takie dwa różne niepuste podzbiory A i B zbioru {1, 2, …, n + 1}, że

⋃_{k∈A} M_{k} = ⋃_{k∈B} M_{k}.

Drugie zawody drużynowe

grupa starsza piątek, 28 września 2001

84. W czworokącie ABCD boki AB i CD są równoległe. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkt F jest ortocentrum △EBC, punkt G jest ortocentrum △EAD. Udowodnij, że środek odcinka GF leży na prostej przechodzącej przez E i prostopadłej do AB.

810. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y_{1}, y_{2}, …, y_{n} zachodzi nierówność

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}y_{i}} \frac{4n^{2}}{∑ _{i=1}^{n} (x_{i} + y_{i})^{2}} .

813. Wysokość przestrzenna czworościanu to odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na przeciwległą ścianę. Udowodnij, że wszystkie pary przeciwległych krawędzi są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy wysokości przestrzenne przecinają się w jednym punkcie.

814. Dane jest n > 2 punktów na płaszczyźnie. d to największa odległość między dwoma spośród tych punktów. Udowodnij, że wśród nich istnieje najwyżej n par punktów odległych o d.

815. Funkcja f jest określona w zbiorze liczb całkowitych dodatnich przez równania: f(1) = 1 , f(3) = 3 oraz: f(2n) = f(n) , f(4n + 1) = 2f(2n + 1) − f(n) , f(4n + 3) = 3f(2n + 1) − 2f(n) dla wszystkich liczb całkowitych n > 0 . Ile jest liczb całkowitych n spełniających warunki 0 < n 1988 oraz f(n) = n ?

816. Zbuduj okrąg przechodzący przez dany punkt oraz styczny do danej prostej i do danego okręgu.

817. Każdy punkt okręgu pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Udowodnij, że istnieje trójkąt równoramienny wpisany w ten okrąg o wszystkich trzech wierzchołkach jednego koloru.

818. Niech r(n) oznacza liczbę rozwiązań równania n = x^{2} + y^{2} w liczbach całkowitych. Oblicz

lim_{n→∞} \frac{r(1) + r(2) + … + r(n)}{n} .

819. Prostokąt łaciński m × n (m n) to m wierszy po n liczb ustawionych tak, że każdy wiersz to pewna permutacja liczb od 1 do n oraz w każdej kolumnie liczby są parami różne. Wykaż, że dowolny prostokąt łaciński m×n, m < n można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego n × n.

820. O jest środkiem okręgu o promieniu r, wpisanego w trójkąt ABC, promień okręgu opisanego na tym trójkącie równy jest R. Udowodnij, że dla każdej prostej k przechodzącej przez punkt O, która przecina okrąg opisany w punktach A′i B′, zachodzi równość: A′O·BO′= 2Rr.

821. Znajdź wszystkie ściśle rosnące funkcje f : ℝ → ℝ ciągłe, monotoniczne i takie, że f(1) = 1 oraz f(f(x)) = (f(x))^{2} dla x ∈ ℝ.

822. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje n kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest potęgą liczby pierwszej o wykładniku całkowitym.

823. Karol i Wojtek grają w następującą grę: na polach nieskończonej szachownicy na zmianę stawiają swoje pionki. Na jednym polu może stać co najwyżej jeden pion. Gracz wygrywa, jeżeli istnieje na planszy kwadrat 2 na 2, na którego każdym polu stoi jego pion. Pierwszy ruch wykonuje Wojtek. Czy dla któregoś z graczy istnieje strategia wygrywająca?

Sprawdzian na koniec warsztatów

grupa starsza sobota, 29 września 2001

94. Udowodnij, że jeżeli liczba a^{3} + b^{3} + c^{3} jest podzielna przez 9, gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi, to co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3.

97. Dany jest okrąg o oraz dwa różne punkty A i B. Skonstruuj okrąg przechodzący przez punkty A i B, styczny do okręgu o.

99. Ile jest permutacji zbioru n-elementowego mających dokładnie k punktów stałych? Wynik przedstaw w postaci sumy co najwyżej n + 1 składników.

910. Dany jest odcinek AB oraz prosta k równoległa do niego. Posługując się jedynie linijką podziel odcinek AB na dwie równe części.

911. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ, takie że dla każdego x, y ∈ ℝ spełniona jest równość

(x − y)f(x + y) − (x + y)f(x − y) = 4xy(x^{2} − y^{2}).

912. Na trójkącie ABC opisany jest okrąg o środku O_{1}. Punkty D i E są odpowiednio środkami tych łuków AB i AC, które nie zawierają trzeciego wierzchołka trójkąta. Punkt O_{2} jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, a punkty F i G są jego punktami styczności odpowiednio z bokami AB i AC. Wykaż, że proste DF, EG oraz O_{1}O_{2} przecinają się w jednym punkcie.

914. Niech α, β i γ będą miarami kątów trójkąta ostrokątnego. Udowodnij, że prawdziwa jest nierówność

2(\frac{sinα}{α} + \frac{sinβ}{β} + \frac{sinγ}{γ}) (\frac{1}{β} + \frac{1}{γ}) sinα + (\frac{1}{γ} + \frac{1}{α}) sinβ + (\frac{1}{α} + \frac{1}{β}) sinγ.

915. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x_{1}, …, x_{k} oraz dowolnych rzeczywistych α_{1} α_{2} … α_{k}, β_{1} … β_{k} spełniających α_{1} β_{1}, α_{1} + α_{2} β_{1} + β_{2}, …, ∑ _{i=1}^{k−1} α_{i} ∑ _{i=1}^{k−1} β_{i} oraz ∑ _{i=1}^{k} α_{i} = ∑ _{i=1}^{k} β_{i} zachodzi następująca nierówność:

∑_{SY M}^{x_{1},...,x_{k}} x_{1}^{α_{1}} · x_{2}^{α_{2}} · . . . · x_{k}^{α_{k}}  ∑_{SY M}^{x_{1},...,x_{k}} x_{1}^{β_{1}} · x_{2}^{β_{2}} · . . . · x_{k}^{β_{k}} .