Pierwsze zawody indywidualne

grupa młodsza niedziela, 23 września 2001

11. Udowodnij, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność

a + b + c \frac{ab}{c}+ \frac{bc}{a}+ \frac{ca}{b}.

12. Wykaż, że liczby naturalne n, m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy liczby 2^{n} − 1, 2^{m} − 1 są względnie pierwsze.

13. Niech a będzie liczbą całkowitą, n – liczbą naturalną > 1. Wykaż, że liczba \sqrt[n]{a} jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita.

14. Na bokach trójkąta △ABC zbudowano na zewnątrz trójkąty równoboczne △ABF, △BCD i △CAE.

a) Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △ABF, △BCD i △CAE są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

b) Udowodnij, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie P.

c) Wykaż, że |AP | + |BP | + |CP | |AR| + |BR| + |CR| dla każdego punktu R.

Drugie zawody indywidualne - dzień pierwszy

grupa młodsza poniedziałek, 24 września 2001

21. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie x + y = xy.

22. Dana jest kwadratowa szachownica o k^{2} polach. Na narożnym polu tej szachownicy stoi wieża. Wykaż, że jeśli ta wieża może przejść ze swojego rogu do rogu przeciwległego, przechodząc przez każde pole szachownicy dokładnie raz, to k jest liczbą nieparzystą.

23. Dana jest liczba rzeczywista a. Udowodnij, że jeżeli liczba a + \frac{1}{a} jest całkowita, to dla dowolnej liczby całkowitej n liczba a^{n} + \frac{1}{a^{n}} jest całkowita.

24. Oblicz pole trójkąta o bokach długości \sqrt{5}, \sqrt{13} i \sqrt{26}.

25. Niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD. Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △P AB, △P BC, △P CD, △P DA tworzą równoległobok.

26. Wykaż, że dla liczb rzeczywistych 0 a 1 i 0 b 1 prawdziwa jest nierówność

(a + b + 1)^{2} 4 · (a^{2001} + b^{2001}).

Drugie zawody indywidualne - dzień drugi

grupa młodsza wtorek, 25 września 2001

31. Niech x będzie 2001-cyfrową liczbą naturalną podzielną przez 9, a – sumą cyfr x, b – sumą cyfr a, c – sumą cyfr b. Oblicz c.

32. Dana jest szachownica 8 x 8. Czy da się na niej ustawić pewną liczbę pionków tak, aby na każdej z 30 przekątnych stała nieparzysta ich liczba?

33. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boku AC w punkcie D, odcinek DE jest średnicą tego okręgu. Prosta BE przecina bok AC w punkcie F. Wykazać, że AF = CD.

34. Udowodnij, że dla liczb całkowitych n > 1

∑_{k=1}^{n} k(k − 1)\binom{n}{k} = n(n − 1) 2^{n−2} .

35. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele trójek x, y, z liczb całkowitych, spełniających równanie x^{2} + y^{2} − z^{2} = 2001.

36. Na bokach równoległoboku ABCD zbudowano na zewnątrz kwadraty. Udowodnij, że ich środki tworzą kwadrat.

Pierwsza łatwa seria powtórzeniowa

grupa młodsza środa, 26 września 2001

41. Udowodnij, że

∑_{k=1}^{n} (2k − 1) = n^{2}.

42. Udowodnij, że

2^{k}\binom{n}{k} = ∑_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{n − i}{k − i} .

43. Liczby a_{1}, a_{2}, …, a_{n} są dodatnie, n 2. Udowodnij, że \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + … + \frac{a_{n}}{a_{1}} n.

44. Na ile sposobów można usadzić przy okrągłym stole uczestników warsztatów (33 osoby) tak, żeby Marcin Pilipczuk nie siedział obok Wojtka Czerwińskiego?

Uwaga: Utożsamiamy obroty stołu.

45. Mamy 4 kawałki papieru. Jeden z nich rozdzieramy na 4 części, otrzymując w sumie 7 kawałków, następnie jeden z tych 7 znów rozdzieramy na 4 i tak dalej. Czy możemy w ten sposób otrzymać 2001 kawałków papieru?

46. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że 8p^{2} + 1 jest liczbą pierwszą.

47. Niech p i q będą różnymi liczbami pierwszymi. Udowodnij, że liczba p^{q−1} + q^{p−1} daje resztę 1 przy dzieleniu przez pq.

48. Dany jest trójkąt ABC oraz dwa okręgi O_{1} i O_{2} styczne zewnętrznie w punkcie T, styczne do boku BC oraz takie, że O_{1} jest styczny do boku AC i O_{2} jest styczny do boku AB. Prosta BT przecina okrąg O wpisany w trójkąt ABC w punktach P_{1} i P_{2}, przy czym P_{1} należy do odcinka BP_{2}. Prosta CT przecina okrąg wpisany w trójkąt ABC w punktach Q_{1} i Q_{2}, przy czym Q_{1} należy do odcinka CQ_{2}. Wykaż, że P_{2}Q_{2} jest średnicą okręgu O.

49. Dany jest trójkąt ABC oraz dodatnia liczba a. Wpisz w ten trójkąt taki prostokąt o stosunku boków a, by jego dwa sąsiednie wierzchołki należały do boku AB, a pozostałe wierzchołki należały odpowiednio do boków BC i CA.

Pierwsze zawody drużynowe

grupa młodsza środa, 26 września 2001

51. Czy istnieje trójkąt nieprostokątny, który można podzielić na 5 trójkątów podobnych do niego?

52. Niech n, k będą liczbami całkowitymi dodatnimi, n k. Na ile sposobów można k różnym osobom rozdać n identycznych ciasteczek tak, by każdy dostał co najmniej jedno ciasteczko?

53. W trójkącie o bokach a, b, c długości środkowych opuszczonych odpowiednio na te boki oznaczmy przez m_{a}, m_{b}, m_{c}. Udowodnij, że m_{b} c + m_{c} b 2 m_{a} a.

54. Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg S_{1}. Styczna do okręgu S_{1} w punkcie A przecina prostą BC w punkcie D. Okrąg S_{2} jest styczny do prostej BC w punkcie D i przechodzi przez punkt A. Punkt E jest drugim (oprócz A) punktem przecięcia okręgów S_{1} i S_{2}. Udowodnij, że \frac{EB}{EC} = \frac{AB^{3}}{AC^{3}} .

55. W klasie siedzi 33 uczniów. Co minutę dwoje z nich zamienia się miejscami. Czy jest możliwe, aby pod koniec lekcji (po 45 zamianach) każdy siedział na tym samym miejscu, co na początku?

56. Podziel kwadrat na 8 trójkątów ostrokątnych.

57. Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich x, y, z

\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{y^{2} + 1} + \sqrt{z^{2} + 1} \sqrt{6(x + y + z)} .

58. Niech k, n będą ustalonymi liczbami całkowitymi dodatnimi. Oblicz

∑_{n_{1}+...+n_{k}=n} \frac{n!}{n_{1}! · . . . · n_{k}!}.

59. Niech v(k) oznacza minimalną liczbę naturalną taką, że dowolna liczba naturalna n da się przedstawić jako suma wziętych z + lub − k-tych potęg liczb całkowitych, tzn.

n = ∑_{i=1}^{v(k)} ±x_{i}^{k},

x_{i} ∈ ℤ. Udowodnij, że: 4 v(3).

511. Rozpatrujemy rozkłady szachownicy 8×8 na p nie zachodzących na siebie prostokątów spełniające następujące warunki:

(a) Każdy prostokąt składa się z pewnej liczby pól szachownicy, przy czym liczba pól białych równa jest liczbie pól czarnych.

(b) Jeżeli a_{i} jest liczbą pól w i-tym prostokącie, to a_{1} < a_{2} < … < a_{p}.

Znajdź największą wartość p, przy której jest możliwy taki rozkład i wyznacz dla tej wartości p wszystkie ciągi a_{1}, a_{2}, …, a_{p}, dla których można taki rozkład zrealizować.

Trzecie zawody indywidualne

grupa młodsza czwartek, 27 września 2001

61. Liczby a_{1}, …, a_{5} są całkowite, liczby b_{1}, …, b_{5} to pewna ich permutacja. Udowodnij, że liczba (a_{1} − b_{1}) …(a_{5} − b_{5}) jest parzysta.

62. Punkty P i Q są środkami przeciwległych krawędzi czworościanu foremnego, przy czym |P Q| = 1. Oblicz objętość tego czworościanu.

63. Na płaszczyźnie danych jest n prostych. Wykaż, że pola, na które te proste dzielą płaszczyznę, można pomalować dwoma kolorami w taki sposób, by żadne dwie figury sąsiadujące ze sobą wzdłuż odcinka (albo półprostej lub prostej) nie były pomalowane tym samym kolorem.

64. W trapezie ABCD boki AB oraz CD są równoległe, proste zawierające boki AD i BC przecinają się w punkcie O, przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty M i N są środkami odpowiednio boków CD i AB. Udowodnij, że punkty O, M, E, N są współliniowe.

65. Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą większą od 5, to p | 5^{p} − 2 · 3^{p} + 1.

Druga łatwa seria powtórzeniowa

grupa młodsza czwartek, 27 września 2001

71. Przy okrągłym stole jest n miejsc oznaczonych proporczykami n różnych państw. Ambasadorowie tych państw usiedli przy stole w sposób losowy, ale tak, że żaden z nich nie usiadł na odpowiednim miejscu. Udowodnij, że można tak obrócić okrągły stół, aby co najmniej dwóch ambasadorów siedziało przy właściwych proporczykach.

72. Udowodnij, że w danym ciągu n-wyrazowym złożonym z liczb całkowitych istnieje pewna liczba jego kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez n.

73. Okręgi dopisane do trójkąta ABC są styczne do boków BC, CA i AB odpowiednio w punktach P, Q i R. Wykaż, że proste AP, BQ i CR przecinają się w jednym punkcie.

74. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do boków BC, CA i AB trójkąta ABC; proste AP, BQ i CR przecinają się w jednym punkcie. Punkty P_{1}, Q_{1}, R_{1} są obrazami odpowiednio punktów P, Q, R w symetriach względem środków tych boków trójkąta ABC, do których należą. Wykaż, że proste AP_{1}, BQ_{1}, CR_{1} przecinają się w jednym punkcie.

75. Wielomian W (x) = a_{n}x^{n} + … + a_{1}x + a_{0} ma współczynniki całkowite. Udowodnij, że nie jest możliwe, by W (7) = 11 i jednocześnie W (11) = 13.

711. Niezerowe liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają następujące warunki: a + b + c + d = 0, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0, abcd = 1. Udowodnij, że |ab + ac + ad + bc + bd + cd| 2.

Drugie zawody drużynowe

grupa młodsza piątek, 28 września 2001

81. Na okręgu napisano n liczb naturalnych. Między każdymi dwiema sąsiednimi liczbami wpisujemy ich największy wspólny dzielnik, po czym wcześniej napisane liczby ścieramy. Z nowo otrzymanymi n liczbami postępujemy analogicznie. Udowodnij, że po skończonej liczbie takich ruchów wszystkie liczby na okręgu będą równe.

82. Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje taka jej wielokrotność, która w zapisie dziesiętnym składa się z samych zer i jedynek.

83. Czy równanie a^{2} − 5b^{2} = 3 ma rozwiązania w liczbach całkowitych a, b?

84. W czworokącie ABCD boki AB i CD są równoległe. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkt F jest ortocentrum △EBC, punkt G jest ortocentrum △EAD. Udowodnij, że środek odcinka GF leży na prostej przechodzącej przez E i prostopadłej do AB.

85. Niech v(k) oznacza minimalną liczbę naturalną taką, że dowolna liczba naturalna n da się przedstawić jako suma wziętych z + lub − k-tych potęg liczb całkowitych, tzn.

n = ∑_{i=1}^{v(k)} ±x_{i}^{k}, x_{i} ∈ ℤ.

Udowodnij, że v(3) 5.

86. Każdy punkt okręgu pomalowano na jeden z dwóch kolorów. Udowodnij, że istnieje trójkąt równoramienny wpisany w ten okrąg o wszystkich trzech wierzchołkach jednego koloru.

87. Udowodnij, że dla a, b, c, d ∈ ℝ_{+}

a + b + c + d \frac{abc}{d^{2}}+ \frac{bcd}{a^{2}}+ \frac{cda}{b^{2}} + \frac{dab}{c^{2}}.

88. Okrąg O jest styczny do prostej k w punkcie D. Cięciwa AB tego okręgu jest równoległa do k, punkt C należy do k. Odcinki AC i BC przecinają okrąg O odpowiednio w punktach E i F. Wykaż, że prosta EF przechodzi przez środek odcinka CD.

89. Udowodnij, że jeśli x, y, z są takimi liczbami nieujemnymi, że x + y + z = 1, to

\frac{x}{1 + x} + \frac{y}{1 + y} + \frac{z}{1 + z} \frac{3}{4}.

810. Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y_{1}, y_{2}, …, y_{n} zachodzi nierówność

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}y_{i}} \frac{4n^{2}}{∑ _{i=1}^{n} (x_{i} + y_{i})^{2}} .

811. Udowodnij, że iloczyn liczb, z których każda jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych, również jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych.

812. Niektóre ściany wypukłego wielościanu pomalowano na czerwono, resztę na biało w taki sposób, że żadne dwie ściany tego samego koloru nie mają wspólnej krawędzi. Udowodnij, że jeśli suma pól ścian czerwonych jest różna od sumy pól ścian białych, to w ten wielościan nie da się wpisać sfery.

Sprawdzian na koniec warsztatów

grupa młodsza sobota, 29 września 2001

91. Punkty D, E, F sa środkami odpowiednio boków BC, AC i AB trójkąta ABC. Wykaż, że środek okręgu wpisanego w △DEF, środek ciężkości △ABC i punkt przecięcia się dwusiecznych △ABC leżą na jednej prostej.

92. Udowodnij, że dla liczb dodatnich a, b i c zachodzi nierówność

2(a^{3} + b^{3} + c^{3}) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a).

93. Proste k i l, przechodzące przez wierzchołki odpowiednio B i C trójkąta ABC, przecinają się na wysokości AD. Prosta k przecina bok AC w punkcie E, prosta l przecina bok AB w punkcie F. Prosta m, zawierająca punkt A i równoległa do BC, przecina prostą DE w punkcie P i prostą DF w punkcie Q. Wykaż, że trójkąt DP Q jest równoramienny.

94. Udowodnij, że jeżeli liczba a^{3} + b^{3} + c^{3} jest podzielna przez 9, gdzie a, b, c są liczbami naturalnymi, to co najmniej jedna z nich jest podzielna przez 3.

95. Ile różnych dziewięcioliterowych wyrazów (ciągów liter) można ułożyć z liter występujących w wyrazie ”rezerwuar” (literę ”e” liczymy dwukrotnie, ”r” - trzykrotnie)?

96. Udowodnij, że jeżeli dla każdej wartości x zachodzi równość

f(x + a) = \frac{1 + f(x)}{1 − f(x)} ,

gdzie a ≠ 0 jest ustaloną liczbą, to funkcja f(x) jest okresowa.

97. Dany jest okrąg o oraz dwa różne punkty A i B. Skonstruuj okrąg przechodzący przez punkty A i B, styczny do okręgu o.

98. Udowodnij, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, który przyjmuje dokładnie w jednym punkcie całkowitym wartość parzystą.