Druga łatwa seria powtórzeniowa

grupa młodsza czwartek, 27 września 2001

71. Przy okrągłym stole jest n miejsc oznaczonych proporczykami n różnych państw. Ambasadorowie tych państw usiedli przy stole w sposób losowy, ale tak, że żaden z nich nie usiadł na odpowiednim miejscu. Udowodnij, że można tak obrócić okrągły stół, aby co najmniej dwóch ambasadorów siedziało przy właściwych proporczykach.

72. Udowodnij, że w danym ciągu n-wyrazowym złożonym z liczb całkowitych istnieje pewna liczba jego kolejnych wyrazów, których suma jest podzielna przez n.

73. Okręgi dopisane do trójkąta ABC są styczne do boków BC, CA i AB odpowiednio w punktach P, Q i R. Wykaż, że proste AP, BQ i CR przecinają się w jednym punkcie.

74. Punkty P, Q, R należą odpowiednio do boków BC, CA i AB trójkąta ABC; proste AP, BQ i CR przecinają się w jednym punkcie. Punkty P_{1}, Q_{1}, R_{1} są obrazami odpowiednio punktów P, Q, R w symetriach względem środków tych boków trójkąta ABC, do których należą. Wykaż, że proste AP_{1}, BQ_{1}, CR_{1} przecinają się w jednym punkcie.

75. Wielomian W (x) = a_{n}x^{n} + … + a_{1}x + a_{0} ma współczynniki całkowite. Udowodnij, że nie jest możliwe, by W (7) = 11 i jednocześnie W (11) = 13.

711. Niezerowe liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają następujące warunki: a + b + c + d = 0, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0, abcd = 1. Udowodnij, że |ab + ac + ad + bc + bd + cd| 2.

Druga łatwa seria powtórzeniowa

grupa starsza czwartek, 27 września 2001

73. Okręgi dopisane do trójkąta ABC są styczne do boków BC, CA i AB odpowiednio w punktach P, Q i R. Wykaż, że proste AP, BQ i CR przecinają się w jednym punkcie.

75. Wielomian W (x) = a_{n}x^{n} + … + a_{1}x + a_{0} ma współczynniki całkowite. Udowodnij, że nie jest możliwe, by W (7) = 11 i jednocześnie W (11) = 13.

76. Niech a będzie liczbą całkowitą, p liczbą pierwszą nieparzystą. Udowodnij, że istnieje para liczb całkowitych (x, y) spełniająca warunki: (x, y) ≠ (0, 0), p | ax − y, |x| [\sqrt{p}], |y| [\sqrt{p}].

77. W trójkącie ABC punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Punkty E i F leżą odpowiednio na prostych AC i AB, przy czym proste BE i CF przecinają się na wysokości AD. Wykaż, że ∡ADE = ∡ADF.

78. Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} , dla których abcd = 2001, zachodzi nierówność:

3(\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{d} + \frac{a^{2}b^{2}d^{2}}{c} + \frac{a^{2}c^{2}d^{2}}{b} + \frac{b^{2}c^{2}d^{2}}{a})

a^{2}b^{2}c + a^{2}bc^{2} + ab^{2}c^{2} + a^{2}b^{2}d + a^{2}bd^{2} + ab^{2}d^{2} + a^{2}c^{2}d + a^{2}cd^{2} + ac^{2}d^{2} + b^{2}c^{2}d + b^{2}cd^{2} + bc^{2}d^{2}.

79. Dany jest zbiór S złożony z n elementów. Niech M_{1}, M_{2}, …, M_{n+1} będą niepustymi podbiorami zbioru S. Wykaż, że istnieją takie dwa różne niepuste podzbiory A i B zbioru {1, 2, …, n + 1}, że

⋃_{k∈A} M_{k} = ⋃_{k∈B} M_{k}.

Druga łatwa seria powtórzeniowa

grupa najstarsza czwartek, 27 września 2001

77. W trójkącie ABC punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A. Punkty E i F leżą odpowiednio na prostych AC i AB, przy czym proste BE i CF przecinają się na wysokości AD. Wykaż, że ∡ADE = ∡ADF.

78. Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c, d ∈ ℝ^{+} , dla których abcd = 2001, zachodzi nierówność:

3(\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{d} + \frac{a^{2}b^{2}d^{2}}{c} + \frac{a^{2}c^{2}d^{2}}{b} + \frac{b^{2}c^{2}d^{2}}{a})

a^{2}b^{2}c + a^{2}bc^{2} + ab^{2}c^{2} + a^{2}b^{2}d + a^{2}bd^{2} + ab^{2}d^{2} + a^{2}c^{2}d + a^{2}cd^{2} + ac^{2}d^{2} + b^{2}c^{2}d + b^{2}cd^{2} + bc^{2}d^{2}.

79. Dany jest zbiór S złożony z n elementów. Niech M_{1}, M_{2}, …, M_{n+1} będą niepustymi podbiorami zbioru S. Wykaż, że istnieją takie dwa różne niepuste podzbiory A i B zbioru {1, 2, …, n + 1}, że

⋃_{k∈A} M_{k} = ⋃_{k∈B} M_{k}.

710. Punkt R jest środkiem łuku AB okręgu opisanego na △ASB, który zawiera punkt S. Punkt D jest środkiem okręgu wpisanego w △ASB, Q jest punktem styczności okręgu wpisanego w △ASB z bokiem AB, a P punktem przecięcia prostej DR z okręgiem opisanym na △ASB, różnym od R. Wykaż, że ∡AP Q = ∡SAB.

711. Niezerowe liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają następujące warunki: a + b + c + d = 0, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0, abcd = 1. Udowodnij, że |ab + ac + ad + bc + bd + cd| 2.

712. Oblicz sumę x^{4} + y^{4} + z^{4} wiedząc, że x + y + z = 0 i x^{2} + y^{2} + z^{2} = a, gdzie a jest daną liczbą dodatnią.