Drugie zawody indywidualne - dzień pierwszy

grupa młodsza poniedziałek, 24 września 2001

21. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie x + y = xy.

22. Dana jest kwadratowa szachownica o k^{2} polach. Na narożnym polu tej szachownicy stoi wieża. Wykaż, że jeśli ta wieża może przejść ze swojego rogu do rogu przeciwległego, przechodząc przez każde pole szachownicy dokładnie raz, to k jest liczbą nieparzystą.

23. Dana jest liczba rzeczywista a. Udowodnij, że jeżeli liczba a + \frac{1}{a} jest całkowita, to dla dowolnej liczby całkowitej n liczba a^{n} + \frac{1}{a^{n}} jest całkowita.

24. Oblicz pole trójkąta o bokach długości \sqrt{5}, \sqrt{13} i \sqrt{26}.

25. Niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD. Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △P AB, △P BC, △P CD, △P DA tworzą równoległobok.

26. Wykaż, że dla liczb rzeczywistych 0 a 1 i 0 b 1 prawdziwa jest nierówność

(a + b + 1)^{2} 4 · (a^{2001} + b^{2001}).

Drugie zawody indywidualne - dzień pierwszy

grupa starsza poniedziałek, 24 września 2001

21. Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie x + y = xy.

23. Dana jest liczba rzeczywista a. Udowodnij, że jeżeli liczba a + \frac{1}{a} jest całkowita, to dla dowolnej liczby całkowitej n liczba a^{n} + \frac{1}{a^{n}} jest całkowita.

25. Niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD. Udowodnij, że środki ciężkości trójkątów △P AB, △P BC, △P CD, △P DA tworzą równoległobok.

27. Punktem kratowym nazywamy punkt płaszczyzny mający obie współrzędne całkowite. Dowieść, że na płaszczyźnie nie można umieścić trójkąta równobocznego tak, aby jego wierzchołki były w punktach kratowych.

28. Dany jest zbiór M złożony z 2001 różnych liczb całkowitych dodatnich, z których żadna nie dzieli się przez liczbę pierwszą większą od 27. Udowodnić, że ze zbioru M można wybrać cztery różne liczby, których iloczyn jest czwartą potęgą liczby całkowitej.

29. Rozważamy następującą grę jednoosobową: pozycja w grze składa się ze skończonego zbioru zaznaczonych punktów kratowych i ze skończonego zbioru zaznaczonych odcinków, które muszą spełniać następujące warunki:

a) końce każdego zaznaczonego odcinka są zaznaczonymi punktami kratowymi;

b) każdy zaznaczony odcinek jest równoległy do jednej z osi układu współrzędnych lub do jednej z dwóch prostych o równaniach y = x, y = −x;

c) każdy zaznaczony odcinek zawiera dokładnie 5 punktów kratowych i każdy z tych punktów jest zaznaczony;

d) dowolne dwa zaznaczone odcinki mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Ruch w grze polega na zaznaczeniu nowego punktu kratowego, a następnie zaznaczeniu

nowego odcinka w taki sposób, by powstała nowa pozycja w grze. Rozstrzygnij, czy istnieje taka pozycja początkowa w grze, że możliwe jest wykonanie nieskończonego ciągu ruchów.