Test kwalifikacyjny na II Warsztaty Matematyczne

Na pytania odpowiada się ”tak” lub ”nie” poprzez wpisanie odpowiednio ”T” bądź ”N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi ”tak” i ”nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji: Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt. Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: -1 punkt. Za brak odpowiedzi: 0 punktów. Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punk-

ty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. W wielomianie (1 + x)^{17} największy współczynnik liczbowy występuje przy x^{8}; x^{9}; x^{10}.

2. Równanie x^{2} − (m + n)x + mn = 0, gdzie m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

gdy mn nie jest kwadratem liczby całkowitej; gdy m ≠ n; zawsze.

3. Na szachownicy 8 × 8 stoi jedna figura szachowa. Liczba ruchów, które może wykonać, nie zależy od miejsca, na którym stoi, jeżeli jest to

hetman; wieża; skoczek.

4. Dany jest ciąg (a_{n}) taki, że dla pewnego rzeczywistego i różnego od zera k ciąg (ka_{n}) jest arytmetyczny. Wtedy

(a_{n}) jest arytmetyczny; ciąg (na_{n}) jest arytmetyczny; dla każdego l ciąg (la_{n}) jest arytmetyczny.

5. Funkcję f nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x zachodzi f(x) = f(−x). Dla dowolnej funkcji f:

f(x^{2}) jest funkcją parzystą; (f(x))^{2} jest funkcją parzystą; f(x) + f(−x) + 1 jest funkcją parzystą.

6. Dla n, k ∈ ℕ \binom{n+1}{k+1} \binom{n}{k};

\binom{n+1}{k} \binom{n}{k+1};

\binom{n}{k+1} \binom{n+1}{k}.

7. Nierówność a^{3} > a^{5} jest prawdziwa dla a < 0; 0 < a < 1; a < −1

8*. Najmniejszą wysokością danego trójkąta jest h. Wówczas: żaden bok nie jest krótszy niż h; któryś bok może być równy h; najkrótsza środkowa jest nie mniejsza niż h.

9. Kwadrat można podzielić na:

3 trójkąty o równych polach; 2000 trójkątów przystających; 2000 pięciokątów o równych polach.

10. Przecinając sześcian płaszczyzną można w przekroju otrzymać: trapez nie będący równoległobokiem; romb nie będący kwadratem; czworokąt nie będący trapezem.

11*. Jeżeli k| l, k, l ∈ ℕ, k, l > 1, to 2^{k} − 1| 2^{l} − 1; k^{k}| l^{l}; k^{k} − 1| l^{l} − 1.

12. Wielościan wypukły ma zawsze dwie ściany o tej samej liczbie boków; mniej wierzchołków niż krawędzi; objętość nie większą niż pole największej ściany pomnożone przez największą odległość

między dwoma wierzchołkami.

13. Suma skończenie wielu liczb wymiernych może być niewymierna; niewymiernych może być wymierna; których moduł jest większy od 1 musi być większa od 1.

14*. Czy dla każdej liczby naturalnej n po liczbie jej dzielników można stwierdzić, czy jest ona

liczbą pierwszą? kwadratem pewnej liczby naturalnej? sześcianem pewnej liczby naturalnej?

15. W Lolandii są w obiegu tylko banknoty o nominale 21 L. oraz monety o nominale 12 L. Można zatem kupić telewizor o cenie:

12345 L.; 123456 L.; 1234567 L.

16. Istnieje taki trójkąt prostokątny, że:

iloczyn długości boków i wysokości jest większy niż π^{2}· S^{3}, gdzie S to pole tego trójkąta; suma długości średnic okręgów wpisanego i opisanego jest mniejsza niż suma długości

przyprostokątnych; a^{6} + b^{6} > c^{6}, gdzie a, b - długości przyprostokątnych, c - długość przeciwprostokątnej.

17*. W każdym trójkącie:

suma długości wysokości jest mniejsza od sumy długości boków; suma długości środkowych jest mniejsza od sumy długości boków; ze środkowych można zbudować trójkąt.

18. 2|x| = |x + 1| + |x − 1| dla x ∈ ℝ jeśli |x| > 1; |x + 1| > |x − 1|; \frac{|x−1|}{|x+1|+2} 1.

19*. Dana jest liczba trzycyfrowa \overline{abc}, co oznacza 100a + 10b + c, przy czym a c > 0. Liczba \overline{abc}− \overline{cba}jest podzielna przez 9; Liczba \overline{abc}+ \overline{bca}+ \overline{cab}jest podzielna przez 37; W liczbie \overline{abc}· \overline{cba}pierwsza i ostatnia cyfra są takie same.

20. Przestrzenny n-kąt foremny to łamana zwyczajna zamknięta, zbudowana z n odcinków równej długości tak, by kąty między sąsiednimi odcinkami były wszystkie równe.

Istnieje przestrzenny 6-kąt foremny, który nie leży w jednej płaszczyźnie. Istnieje przestrzenny 6-kąt foremny, którego wszystkie kąty są proste. Każdy przestrzenny 4-kąt foremny, którego wszystkie kąty są proste, leży w pewnej

płaszczyźnie.

21. W grupie 50 osób 32 jest płci żeńskiej, 30 ma blond włosy i 45 jest pełnoletnich. Wynika stąd, że

jest co najmniej 5 pełnoletnich blondynek; jest co najmniej 10 blondynek; jest co najmniej 10 pełnoletnich blondynów.

22. Figura złożona z prostej i okręgu musi mieć przynajmniej jedną oś symetrii; środek symetrii; dwie osie symetrii.

23*. Funkcja 2 ^{cos x} jest ograniczona przez 1; okresowa; nieograniczona; 24. Niech a_{1} = a_{2} = 1 oraz a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} dla n 2. Wówczas

od pewnego miejsca a_{n} > n; ciąg \frac{a_{n+1}}{a_{n}} jest nieograniczony ciąg \frac{a_{n+1}}{a_{n}} jest ograniczony przez 2.

25. Liczba wpólnych prostych stycznych do dwóch okręgów może wynosić 0; 1; 2.

26. Liczby x_{1} i x_{2} są pierwiastkami trójmianu x^{2} + bx + c. Wynika stąd, że x_{1}x_{2}^{2} i x_{1}^{2}x_{2} są pierwiastkami trójmianu

x^{2} + bcx + c^{3}; x^{2} + (b + c)x + c^{2}; x^{2} − (b − c)x + c^{3}.

27. Rozważamy trójkąty o bokach długości a, b, c, gdzie 0 < a 1 b 2 c 3. Wówczas pole każdego z tych trójkątów nie przekracza 1; istnieje wśród nich trójkąt o polu 1; istnieje wśród nich nieskończenie wiele trójkątów równoramiennych.

28. Niech a = m(m + 1)(m + 2), gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas a jest podzielne przez 24; dla żadnego m nie jest sześcianem liczby naturalnej; jest podzielne przez 6.

29. Niech ciąg a_{n} spełnia, dla ustalonego r > 0 i każdego naturalnego n, warunek a_{n+2} −a_{n} = r. Wtedy

ciąg (b_{n}), gdzie b_{n} = a_{2n+1} , musi być arytmetyczny; ciąg (a_{n}) jest rosnący; ciąg (a_{n}) musi być arytmetyczny.

30*. Wielomian x^{n!} + n!, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, ma pierwiastek rzeczywisty tylko dla n = 1; dla każdego n; dla każdego nieparzystego n.