Test kwalifikacyjny na II Warsztaty Matematyczne

Na pytania odpowiada się ”tak” lub ”nie” poprzez wpisanie odpowiednio ”T” bądź ”N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi ”tak” i ”nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji: Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt. Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: -1 punkt. Za brak odpowiedzi: 0 punktów. Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punk-

ty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. W wielomianie (1 + x)^{17} największy współczynnik liczbowy występuje przy T x^{8}; T x^{9}; N x^{10}.

2. Równanie x^{2} − (m + n)x + mn = 0, gdzie m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

T gdy mn nie jest kwadratem liczby całkowitej; T gdy m ≠ n; N zawsze.

3. Na szachownicy 8 × 8 stoi jedna figura szachowa. Liczba ruchów, które może wykonać, nie zależy od miejsca, na którym stoi, jeżeli jest to

N hetman; T wieża; N skoczek.

4. Dany jest ciąg (a_{n}) taki, że dla pewnego rzeczywistego i różnego od zera k ciąg (ka_{n}) jest arytmetyczny. Wtedy

T (a_{n}) jest arytmetyczny; N ciąg (na_{n}) jest arytmetyczny; T dla każdego l ciąg (la_{n}) jest arytmetyczny.

5. Funkcję f nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego x zachodzi f(x) = f(−x). Dla dowolnej funkcji f:

T f(x^{2}) jest funkcją parzystą; N (f(x))^{2} jest funkcją parzystą; T f(x) + f(−x) + 1 jest funkcją parzystą.

6. Dla n, k ∈ ℕ T \binom{n+1}{k+1} \binom{n}{k};

N \binom{n+1}{k} \binom{n}{k+1};

N \binom{n}{k+1} \binom{n+1}{k}.

7. Nierówność a^{3} > a^{5} jest prawdziwa dla N a < 0; T 0 < a < 1; T a < −1

8*. Najmniejszą wysokością danego trójkąta jest h. Wówczas: T żaden bok nie jest krótszy niż h; N któryś bok może być równy h; T najkrótsza środkowa jest nie mniejsza niż h.

9. Kwadrat można podzielić na:

N 3 trójkąty o równych polach; T 2000 trójkątów przystających; T 2000 pięciokątów o równych polach.

10. Przecinając sześcian płaszczyzną można w przekroju otrzymać: T trapez nie będący równoległobokiem; T romb nie będący kwadratem; N czworokąt nie będący trapezem.

11*. Jeżeli k| l, k, l ∈ ℕ, k, l > 1, to T 2^{k} − 1| 2^{l} − 1; T k^{k}| l^{l}; N k^{k} − 1| l^{l} − 1.

12. Wielościan wypukły ma zawsze T dwie ściany o tej samej liczbie boków; T mniej wierzchołków niż krawędzi; N objętość nie większą niż pole największej ściany pomnożone przez największą odległość

między dwoma wierzchołkami.

13. Suma skończenie wielu liczb N wymiernych może być niewymierna; T niewymiernych może być wymierna; N których moduł jest większy od 1 musi być większa od 1.

14*. Czy dla każdej liczby naturalnej n po liczbie jej dzielników można stwierdzić, czy jest ona

T liczbą pierwszą? T kwadratem pewnej liczby naturalnej? N sześcianem pewnej liczby naturalnej?

15. W Lolandii są w obiegu tylko banknoty o nominale 21 L. oraz monety o nominale 12 L. Można zatem kupić telewizor o cenie:

T 12345 L.; T 123456 L.; N 1234567 L.

16. Istnieje taki trójkąt prostokątny, że:

N iloczyn długości boków i wysokości jest większy niż π^{2}· S^{3}, gdzie S to pole tego trójkąta; N suma długości średnic okręgów wpisanego i opisanego jest mniejsza niż suma długości

przyprostokątnych; N a^{6} + b^{6} > c^{6}, gdzie a, b - długości przyprostokątnych, c - długość przeciwprostokątnej.

17*. W każdym trójkącie:

T suma długości wysokości jest mniejsza od sumy długości boków; T suma długości środkowych jest mniejsza od sumy długości boków; T ze środkowych można zbudować trójkąt.

18. 2|x| = |x + 1| + |x − 1| dla x ∈ ℝ jeśli T |x| > 1; N |x + 1| > |x − 1|; T \frac{|x−1|}{|x+1|+2} 1.

19*. Dana jest liczba trzycyfrowa \overline{abc}, co oznacza 100a + 10b + c, przy czym a c > 0. T Liczba \overline{abc}− \overline{cba}jest podzielna przez 9; T Liczba \overline{abc}+ \overline{bca}+ \overline{cab}jest podzielna przez 37; N W liczbie \overline{abc}· \overline{cba}pierwsza i ostatnia cyfra są takie same.

20. Przestrzenny n-kąt foremny to łamana zwyczajna zamknięta, zbudowana z n odcinków równej długości tak, by kąty między sąsiednimi odcinkami były wszystkie równe.

T Istnieje przestrzenny 6-kąt foremny, który nie leży w jednej płaszczyźnie. T Istnieje przestrzenny 6-kąt foremny, którego wszystkie kąty są proste. T Każdy przestrzenny 4-kąt foremny, którego wszystkie kąty są proste, leży w pewnej

płaszczyźnie.

21. W grupie 50 osób 32 jest płci żeńskiej, 30 ma blond włosy i 45 jest pełnoletnich. Wynika stąd, że

T jest co najmniej 5 pełnoletnich blondynek; T jest co najmniej 10 blondynek; N jest co najmniej 10 pełnoletnich blondynów.

22. Figura złożona z prostej i okręgu musi mieć T przynajmniej jedną oś symetrii; N środek symetrii; N dwie osie symetrii.

23*. Funkcja 2 ^{cos x} jest N ograniczona przez 1; T okresowa; N nieograniczona; 24. Niech a_{1} = a_{2} = 1 oraz a_{n+1} = a_{n} + a_{n−1} dla n 2. Wówczas

T od pewnego miejsca a_{n} > n; N ciąg \frac{a_{n+1}}{a_{n}} jest nieograniczony T ciąg \frac{a_{n+1}}{a_{n}} jest ograniczony przez 2.

25. Liczba wpólnych prostych stycznych do dwóch okręgów może wynosić T 0; T 1; T 2.

26. Liczby x_{1} i x_{2} są pierwiastkami trójmianu x^{2} + bx + c. Wynika stąd, że x_{1}x_{2}^{2} i x_{1}^{2}x_{2} są pierwiastkami trójmianu

T x^{2} + bcx + c^{3}; N x^{2} + (b + c)x + c^{2}; N x^{2} − (b − c)x + c^{3}.

27. Rozważamy trójkąty o bokach długości a, b, c, gdzie 0 < a 1 b 2 c 3. Wówczas T pole każdego z tych trójkątów nie przekracza 1; T istnieje wśród nich trójkąt o polu 1; T istnieje wśród nich nieskończenie wiele trójkątów równoramiennych.

28. Niech a = m(m + 1)(m + 2), gdzie m jest dodatnią liczbą całkowitą. Wówczas a N jest podzielne przez 24; T dla żadnego m nie jest sześcianem liczby naturalnej; T jest podzielne przez 6.

29. Niech ciąg a_{n} spełnia, dla ustalonego r > 0 i każdego naturalnego n, warunek a_{n+2} −a_{n} = r. Wtedy

T ciąg (b_{n}), gdzie b_{n} = a_{2n+1} , musi być arytmetyczny; N ciąg (a_{n}) jest rosnący; N ciąg (a_{n}) musi być arytmetyczny.

30*. Wielomian x^{n!} + n!, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, ma pierwiastek rzeczywisty T tylko dla n = 1; N dla każdego n; N dla każdego nieparzystego n.