KÓŁECZKO Z II ETAPÓW (22.02.07)

1. Szachownica ma kształt kwadratu o boku długości n, podzielonego na n^{2} kwadratów jednostkowych. Dla jakich n można przykryć szachownic_{}e kwadratowymi klockami o boku długości 2 lub 3?

2. Dwusieczna k _{}ata BAC w trójk _{}acie ABC przecina okr _{}ag opisany na tym trójk _{}acie w punkcie D. Punkty K i L s _{}a rzutami odpowiednio punktów B i C na prost _{}a AD. Dowieść, że BK + CL AD.

3. Punkty A, B, C leż _{}a w tej własnie kolejności na prostej, przy czym AB jest krótsze niż BC. Punkty D, E s _{}a wierzchołkami kwadratu ABDE. Okr _{}ag o średnicy AC przecina prost _{}a DE w punktach P i Q, przy czym punkt P należy do odcinka DE. Proste AQ i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Udowodnić, że DP = DR.

4. W n-osobowej grupie osób działa sześć grup. W skład każej z nich wchodzi nie mniej nież n/4 osób. Dowieść, że istniej _{}a dwie grupy, których cz_{}eść wspólna liczy nie mniej niż n/30 osób.

5. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r, takie re p q r oraz każda z liczb: pq + r, pq + r^{2}, qr + p, qr + p^{2}, pr + q, pr + q^{2} jest liczb _{}a pierwsz _{}a.

6. Rozstrzygn _{}ać, czy każd _{}a liczb_{}e wymiern _{}a dodatni _{}a można przedstawić w postaci \frac{a^{2}+b^{3}}{c^{5}+d^{7}} , gdzie a, b, c, d s _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi.

7. Niech n 3. Dowieść, że dowolny wielomian postaci x^{n} + a_{n−3} x^{n−3} + a_{n−4} x^{n−4} + ... + a_{1}x + a_{0}, gdzie co najmniej jeden ze współczynników rzeczywistych a_{0},a_{1},...,a_{n−3} jest różny od zera, ma mniej niż n pierwiastków rzeczywistych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).