Zadania nieco trudniejsze niż inne, do rozwiązywania w wolnych chwilach

1. Na szachownicy n × n szerzy się epidemia. Na początku zarażone jest k pól - ognisk epidemii. Jeżeli co najmniej dwóch z czterech sąsiadów nie zarażonego pola jest zarażonych, to ono również staje się zarażone. Znaleźć najmniejsze k takie, że zarażona może zostać cała szachownica.

2. Okręgi O_{1}, O_{2}, O_{3} są styczne odpowiednio do boków AB i AC, BA i BC, CA i CB trójkąta ABC. Okrąg O jest styczny zewnętrznie do O_{1}, O_{2}, O_{3} odpowiednio w punktach D, E, F. Wykazać, że proste AD, BE i CF przecinają się w jednym punkcie.

3. Niech A, B, C i D będą czterema różnymi punktami leżącymi w tej kolejności na prostej. Okręgi o średnicach AC i BD przecinają się w punktach X i Y. Proste XY i BC przecinają się w punkcie Z. Niech P będzie dowolnym punktem na prostej XY, różnym od Z. Prosta CP przecina okrąg o średnicy AC w punktach C i M, prosta BP przecina okrąg o średnicy BD w punktach B i N. Udowodnić, że proste AM, DN i XY przecinają się w jednym punkcie.

4. Okrąg O jest opisany na trójkącie ABC. Punkt P należy do tego łuku BC okręgu O, do którego nie należy A. Punkty S_{1} oraz S_{2} są środkami okręgów wpisanych odpowiednio w △P AB i △P AC. Dowieść, że przy ustalonych punktach A, B, C i zmieniającym się punkcie P okręgi opisane na trójkątach P S_{1}S_{2} mają punkt wspólny.

5. Dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n} ∈ ℝ takich, że ∑ _{i=1}^{n} a_{i} = n znaleźć najmniejszą możliwą

wartość wyrażenia ∑_{i=1}^{n} \sqrt{a_{i}^{2} + (2i − 1)^{2}} .

6. Zbiór {1, 2, …, 64} podzielono na cztery rozłączne zbiory. Udowodnić, że istnieją liczby a, b, c (niekoniecznie różne) należące do jednego zbioru takie, że a + b = c.

7. Dany jest skończony zbiór A punktów w przestrzeni. Każdemu punktowi ze zbioru A przypisana jest liczba rzeczywista. Dla dowolnej płaszczyzny zawierającej przynajmniej trzy punkty z A suma liczb przypisanych punktom znajdującym się na tej płaszczyźnie jest równa 0. Czy, jeżeli zbiór A nie jest zawarty w jednej płaszczyźnie, to liczba przypisana każdemu z punktów równa jest 0?

8. Na sali tanecznej znajduje się n chłopców i n dziewcząt. Każda grupa k chłopców zna co najmniej k dziewcząt. Udowodnić, że jest możliwe, by każdy chłopiec tańczył z dziewczęciem, które zna.

9. Niech P^{k}(n) oznacza zbiór k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Udowodnić, że dla dowolnego n i dowolnego n < k n/2 istnieje różnowartościowa funkcja f : P^{k+1} (n) ↦ P^{k}(n) taka, że f(A) ⊂ A.

10. Niech a_{0} = 1, a_{n+1} = a_{n} + 1/a_{n}. Udowodnić, że ciąg a_{n} − \sqrt{2n} zbiega do zera.

11. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi

∑_{k=0}^{n} \binom{2n − k}{n} · 2^{k} = 4^{n}.

12. Wielomian W (x) stopnia n spełnia warunek W (k) = \frac{1}{k} dla k = 1, 2, 4, …, 2^{n}. Obliczyć W (0).

13. Mamy płaszczyznę z naniesionym układem współrzędnych. Dzielimy ją na kwadraty jednostkowe o współrzędnych wierzchołków całkowitych (tj. robimy z niej szachownicę). Rysujemy koło o promieniu 2000 i środku w środku układu współrzędnych. Do figury S należą te i tylko te kwadraty, które są w całości zawarte w narysowanym kole. Na każdym kwadracie należącym do S piszemy liczbę +1. Na S możemy przeprowadzać następujące operacje: wybrać prostą przecinającą oś OX pod kątem 0^{∘}, 45^{∘}, 90^{∘} lub 135^{∘}, i zmienić znak liczby wpisanej we wszystkie kwadraty, których środek leży na tej prostej. Stwierdzić, czy istnieje ciąg operacji prowadzący do tego, że na tylko jednym kwadracie S znajduje się liczba -1, zaś na reszcie +1.