Zadania do samodzielnego rozwiązywania

poniedziałek, 25 września 2000

21. Dany jest test o następujących zasadach: pytania są pogrupowane w zestawy po trzy. Na każde pytanie można udzielić odpowiedzi Tak lub Nie, bądź też nie udzielić odpowiedzi. Za udzielenie poprawnej odpowiedzi dostaje się 1 punkt, za udzielenie niepoprawnej -1 punkt, zaś za brak odpowiedzi 0 punktów. Dodatkowo za prawidłowe udzielenie odpowiedzi na wszystkie trzy pytania w zestawie dostaje się 2 punkty.

a) Czy w tym teście opłaca się strzelać?

b) Jaka jest wartość oczekiwana wyniku testu, jeżeli odpowiedzi udziela się losowo, zaś pytań jest 30?

22. Oblicz sumę

\frac{1}{3^{−2000} + 1} + \frac{1}{3^{−1999} + 1} + … + \frac{1}{3^{−1} + 1} + \frac{1}{3^{0} + 1} + \frac{1}{3^{1} + 1} + … + \frac{1}{3^{1999} + 1} + \frac{1}{3^{2000} + 1} .

23. Różne punkty A i B należą do okręgu O. Znaleźć zbiór środków ciężkości trójkątów ABP dla wszystkich punktów P należących do O.

24. Na płaszczyźnie dany jest zbiór E oraz takie koła otwarte (tzn. bez brzegu) K_{1}, K_{2}, …, K_{n}, że

E ⊆ K_{1} ∪ K_{2} ∪ … ∪ K_{n}.

Udowodnić, że spośród tych kół można wybrać takie parami rozłączne koła K_{i_{1}}, K_{i_{2}}, …, K_{i_{l}}, że

E ⊆ 3K_{i_{1}} ∪ 3K_{i_{2}} ∪ … ∪ 3K_{i_{l}} .

Uwaga: Jeśli K jest kołem o środku X i promieniu r, to 3K jest kołem o środku X i promieniu 3r.

25. Koledzy Fredka mieszkają na okręgu o promieniu 541 km. Fredek chce ich wszystkich odwiedzić i u każdego z nich zatankować (Fredek ma nieograniczone możliwości tankowania). Kiedy zatankowane paliwo zużyje się całkowicie, Fredek nie będzie miał możliwości kontynuowania podróży.

Wszyscy koledzy Fredka mają w sumie tyle paliwa, aby wystarczyło Fredkowi na odbycie podróży po całym okręgu.

Dowieść, że Fredek może rozpocząć podróż od takiego kolegi, że jadąc przeciwzegarowo po okręgu i tankując po drodze odwiedzi wszystkich kolegów i wróci do punktu wyjścia.

26. Rozważmy mecz ping-ponga pomiędzy dwiema drużynami po 1000 osób rozgrywany metodą ”każdy z każdym”. Udowodnić, że istnieje 10 graczy z tej samej drużyny takich, że każdy gracz drużyny przeciwnej przegrał z przynajmniej jednym z tych dziesięciu graczy (uwaga: w ping-pongu nie ma remisów).