Chyba ostatnia na tym obozie porcja samodzielnych zadań człowieka

grupa młodsza niedziela, 1 października 2000

81. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi tożsamość:

∑_{i=0}^{n} i\binom{n}{i} ^{2} = n\binom{2n − 1}{n − 1} .

82. Czy istnieje czworościan, którego każda krawędź byłaby ramieniem kąta rozwartego jednej ze ścian?

83. Punkty P, Q, R leżą odpowiednio na odcinkach AB, AC, AD w równoległoboku ABCD. Udowodnić, że jeśli na czworokącie AP QR można opisać okrąg, to |AR||AD| + |AP ||AB| = |AQ||AC|.

84. Dowieść, że liczba

∏_{n=8}^{64} [ \binom{3n + 31}{n} \binom{4n − 19}{n + 5} − \binom{3n + 31}{n + 5} \binom{3n + 1}{n} ]

jest sześcianem liczby całkowitej.

85. Dana jest figura S o polu mniejszym od 1. Udowodnić, że można na płaszczyźnie z układem współrzędnych położyć ją tak, by nie zawierała żadnego punktu kratowego.

86. Dane są punkty A i B położone daleko od siebie. Mając do dyspozycji tylko krótką linijkę, narysować prostą AB.

87. Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1! + 2! + ⋯ + n! była kwadratem pewnej liczby naturalnej.

88. Punkt P leży wewnątrz równoległoboku ABCD, przy czym |∠ABP | = |∠ADP |. Wykazać, że |∠P AB| = |∠P CB|.

89. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Dowieść, że środki okręgów wpisanych w trójkąty AML, BKM, CLK leżą na okręgu wpisanym w trójkąt ABC.

810. Udowodnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie, to

\sqrt{\frac{a + b}{c}} + \sqrt{\frac{b + c}{a}} + \sqrt{\frac{c + a}{b}} 3\sqrt{2}.

811. Liczby x, y, z spełniają warunki:

1. x + y + z = a,

2. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}.

Udowodnij, że co najmniej jedna z liczb x, y, z jest równa a.

813. W zajęciach uczestniczyło 2000 uczniów. Rozwiązali oni łącznie 2000 zadań, przy czym każdy z uczniów rozwiązał dokładnie dwa zadania i każde zadanie zostało rozwiązane przez dwóch uczniów. Wykaż, że zajęcia można było tak poprowadzić, by każdy uczeń przedstawiał jedno z rozwiązanych przez siebie zadań przy tablicy i by każde zadanie zostało w ten sposób omówione.

Chyba ostatnia na tym obozie porcja samodzielnych zadań człowieka

grupa starsza niedziela, 1 października 2000

86. Dane są punkty A i B położone daleko od siebie. Mając do dyspozycji tylko krótką linijkę, narysować prostą AB.

87. Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne n, aby liczba 1! + 2! + ⋯ + n! była kwadratem pewnej liczby naturalnej.

88. Punkt P leży wewnątrz równoległoboku ABCD, przy czym |∠ABP | = |∠ADP |. Wykazać, że |∠P AB| = |∠P CB|.

89. Okrąg wpisany w trójkąt ABC jest styczny do boków BC, CA, AB odpowiednio w punktach K, L, M. Dowieść, że środki okręgów wpisanych w trójkąty AML, BKM, CLK leżą na okręgu wpisanym w trójkąt ABC.

810. Udowodnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie, to

\sqrt{\frac{a + b}{c}} + \sqrt{\frac{b + c}{a}} + \sqrt{\frac{c + a}{b}} 3\sqrt{2}.

811. Liczby x, y, z spełniają warunki:

1. x + y + z = a,

2. \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}.

Udowodnij, że co najmniej jedna z liczb x, y, z jest równa a.

720. Niech W (x) będzie wielomianem stopnia dodatniego rozkładalnym na czynniki liniowe i kwadratowe. Udowodnić, że na to, aby dla każdego rzeczywistego x zachodziła nierówność W (x) 0, potrzeba i wystarcza, aby istniały takie wielomiany P, Q, że W (x) = [P (x)]^{2} + [Q(x)]^{2}.

714. Okrąg O jest opisany na trójkącie ABC. Punkt P należy do tego łuku BC okręgu O, do którego nie należy A. Punkty S_{1} oraz S_{2} są środkami okręgów wpisanych odpowiednio w △P AB i △P AC. Dowieść, że przy ustalonych punktach A, B, C i zmieniającym się punkcie P okręgi opisane na trójkątach P S_{1}S_{2} mają punkt wspólny.

812. Udowodnij, że zachodzi następująca nierówność:

ln(tg1^{∘}) ln(tg2^{∘}) ⋯ ln(tg89^{∘}) < \frac{1}{π}.

813. W zajęciach uczestniczyło 2000 uczniów. Rozwiązali oni łącznie 2000 zadań, przy czym każdy z uczniów rozwiązał dokładnie dwa zadania i każde zadanie zostało rozwiązane przez dwóch uczniów. Wykaż, że zajęcia można było tak poprowadzić, by każdy uczeń przedstawiał jedno z rozwiązanych przez siebie zadań przy tablicy i by każde zadanie zostało w ten sposób omówione.