Seria łatwych zadań między innymi z liczb zespolonych

poniedziałek, 25 września 2000, wieczór

31. Korzystając ze wzorów na sin(α + β), cos(α + β), udowodnić indukcyjnie wzór de Moivre’a.

32. Sprawdzić, że:

a) |z_{1} + z_{2}| |z_{1}| + |z_{2}|,

b) Sprzężenie ilorazu dwóch liczb zespolonych jest równe ilorazowi ich sprzężeń.

33. Obliczyć |z_{1} − z_{2}|, gdzie z_{1} = \frac{8}{3}(cos\frac{π}{6} + i · sin\frac{π}{6}).

34. Wprowadźmy prostokątny układ współrzędnych. Niech A = (0, 0), B = (3, 0), C = (1, 1), D = (2, 1), E = (3, 1). Obliczyć |∠BAC| + |∠BAD| + |∠BAE|.

35. Dowieść, że liczba log_{1+2/sqrt2} (1 + 3\sqrt{2}) jest niewymierna. Uwaga: a = log_{b}(c) oznacza, że b^{a} = c.

36. Wykazać, że

−π^{2} − 1 \sqrt{|40\sqrt{2} − 57|} − \sqrt{40\sqrt{2} + 57} −π^{2}.

37. Rozstrzygnąć, czy istnieją liczby niewymierne a, b takie, że a^{b} jest liczbą wymierną.