Zadania do samodzielnego rozwiązywania

piątek, 29 września 2000

61. Niech l_{1}, l_{2} będą prostymi przecinającymi się w punkcie O. Z dowolnego punktu A prowadzimy 4 proste k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4} przecinające proste l_{1} i l_{2}. Dla i = 1, 2, 3, 4 oznaczmy przez X_{i} punkt przecięcia prostej k_{i} z prostą l_{1}, a przez Y_{i} punkt przecięcia prostej k_{i} z l_{2}.

Oznaczmy przez:

B_{1} punkt przecięcia odcinka X_{1}Y_{2} z X_{2}Y_{1},

B_{2} punkt przecięcia odcinka X_{2}Y_{3} z X_{3}Y_{2},

B_{3} punkt przecięcia odcinka X_{3}Y_{4} z X_{4}Y_{3}.

Pokazać, że punkty B_{1}, B_{2}, B_{3}, O leżą na jednej prostej. Ponadto wykazać, że prosta ta nie zależy od wyboru prostych k_{i}, a jedynie od położenia punktu A i prostych l_{1}, l_{2}.

62. Dane są trzy proste l_{1}, l_{2}, l_{3} przecinające się w punkcie O. Na prostej l_{1} wybieramy punkty A i A′, na l_{2} - B i B′, na l_{3} - C i C′, wszystkie różne od punktu O.

Niech P będzie punktem przecięcia prostych AB i A′B′, Q - BC i B′C′, a R - AC i A′C′. Pokazać, że punkty P, Q, R leżą na jednej prostej.

63. Na okrągłym kawiarnianym stoliku dwóch graczy gra w grę o następujących zasadach: gracze na przemian kładą na stoliku jednozłotówki, przy czym nie mogą one wystawać poza stolik ani nachodzić na siebie oraz nie wolno przesuwać leżących już monet. Przegrywa ten gracz, który jako pierwszy nie może wykonać ruchu. Który z graczy ma strategię wygrywającą i jaką?

64. Kwadrat o boku długości n dzielimy na n^{2} kwadratów jednostkowych. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których taki kwadrat można pociąć wzdłuż linii podziału na kwadraty, z których każdy ma bok długości 2 lub 3.