Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Na pytania odpowiada się ”tak” lub ”nie” poprzez wpisanie odpowiednio ”T” bądź ”N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi ”tak” i ”nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji: Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt. Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: -1 punkt. Za brak odpowiedzi: 0 punktów. Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punk-

ty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Na to, by okręgi były styczne, wystarcza, by odległość ich środków była równa Sumie ich promieni Różnicy ich promieni Iloczynowi ich promieni

2. Suma dwu liczb pierwszych Musi być liczbą pierwszą Dzieli się przez 3 Może być liczbą pierwszą

3. Równanie x^{2} − πx + 2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych Ma dokładnie jeden pierwiastek Nie ma pierwiastków Ma dokładnie dwa pierwiastki

4. Równość |a_{1} + … + a_{n}| = |a_{1}| + … + |a_{n}|, gdzie a_{n} są liczbami rzeczywistymi, jest prawdziwa

Dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n} Wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a_{1}, …, a_{n} są nieujemne Jeśli wszystkie spośród liczb a_{1}, …, a_{n} są ujemne

5*. Prawdopodobieństwo znalezienia wśród 400 kandydatów do szkoły dwudziestu urodzonych tego samego dnia tygodnia jest

Równe 0 Równe 1 Równe \frac{1}{7} 6. Dane są ciągi arytmetyczne 1, 5, 9, … oraz 7, 12, 17, . . .. Wówczas

Żadna liczba naturalna nie występuje jednocześnie w obu ciągach Istnieje liczba większa od 2000, która występuje w obu ciągach Liczba 1997 występuje w obu ciągach

7*. Odcinek AD, gdzie D leży na odcinku BC, dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty podobne do niego. Wynika stąd, że trójkąt ABC jest

Równoramienny Prostokątny Równoboczny

8. W liczącej 20 osób grupie 18 zna język angielski, 14 - niemiecki i 12 - francuski. Można zatem mieć pewność, że

Istnieje osoba mówiąca co najwyżej dwoma językami obcymi Trzema językami obcymi włada przynajmniej 6 osób Trzema językami obcymi władają przynajmniej 4 osoby

9*. Ciąg (a_{n}) jest arytmetyczny, a ciąg (b_{n}) geometryczny. Jeśli a_{7} = b_{19}, a_{8} = b_{18}, a_{9} = b_{17}, to dla dowolnego i

a_{i} > a_{i+3} a_{i} = b_{i} b_{i+3} b_{i}

10. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, x Warunek a > 0 i b > 0 jest równoważny warunkowi a + b > 0 i ab > 0 Warunek |x − 1| < 0 jest równoważny warunkowi (x − 1)(1 − x) < 0 Warunek |x − 1| < 2 jest równoważny warunkowi −1 < x < 3 11. Liczby całkowite dodatnie x, y, z spełniają warunek x^{2} + y^{2} = z^{2}. Wówczas co najmniej jedna z nich

Dzieli się przez 2 Jest nieparzysta Dzieli się przez 3

12. Liczba 314159199999999 Dzieli się przez 3 Daje z dzielenia przez 9 resztę 6 Dzieli się przez 9

13*. Długości a, b, c boków trójkąta prostokątnego spełniają a < b < c. Wynika stąd, że a^{4} + b^{4} < c^{4} a^{4} + b^{4} = c^{4} a^{4} + b^{4} > c^{4}

14. Stosunek pola koła opisanego na trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest zawsze

Mniejszy od 100 Równy stosunkowi pola tego trójkąta do jego obwodu Liczbą niewymierną

15. Funkcja f(x) = sin(cosx) dla wszystkich rzeczywistych x Ma największą wartość równą 1 Jest okresowa Przyjmuje wartość 0 nieskończenie wiele razy

16. Rozpatrzmy następujący warunek: istnieje taki ciąg geometryczny (a_{k}), że liczby a_{1}, …, a_{n} są całkowite, a wszystkie dalsze wyrazy ciągu: a_{n+1} , a_{n+2} , … nie są całkowite. Prawdą jest, że

Każda dodatnia całkowita liczba n spełnia ten warunek Tylko liczba n = 1 spełnia ten warunek Nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich nie spełnia tego warunku

17. Dla danego ciągu (a_{n}) definiujemy b_{n} = a_{n+1} − a_{n}. Załóżmy, że tak zdefiniowany ciąg b_{n} jest monotoniczny. Wynika stąd, że ciąg a_{n} jest

Ograniczony Monotoniczny Monotoniczny począwszy od pewnego wyrazu

18*. Liczba 10004000600040001 jest Czwartą potęgą liczby całkowitej Sześcianem liczby całkowitej Podzielna przez 321

19*. Dowolny trójkąt ostrokątny można podzielić na Trzy trójkąty prostokątne Dwa trójkąty rozwartokątne Trzy trójkąty równoramienne

20. Figura powstała przez połączenie środków kolejnych boków trapezu równoramiennego Jest prostokątem Jest rombem Ma pole równe połowie pola trapezu

21. Suma liczb całkowitych a i b jest równa ich iloczynowi. Wynika stąd, że a = b a = 0 lub b = 2 a = 0 lub b = 0

22*. Tabliczkę czekolady złożoną z 24 kostek łamiemy w ten sposób, że za każdym razem przełamujemy tylko jedną część i na dokładnie dwie części. Aby mieć każdą kostkę oddzielnie należy wykonać

Co najmniej 23 łamania Co najwyżej 23 łamania Dokładnie 23 łamania 23. Wysokość trójkąta może padać na bok przeciwległy wierzchołkowi, z którego jest poprowadzona, na wierzchołek lub na przedłużenie tego boku. Istnieje trójkąt, w którym liczba wysokości padających na przedłużenie boku jest równa

1 2 3

24. n prostych dzieli płaszczyznę na Co najmniej 2n części Co najwyżej \binom{n+1}{2} + 1 części

Dokładnie \binom{n+1}{2} + 1 części

25. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a dwie spośród ich wspólnych stycznych są prostopadłe. Stosunek promieni tych okręgów może być równy

1 2

3 + 2\sqrt{2}

26. Suma ∑ _{i=1}^{n} i^{5} jest równa \frac{1}{6}(n + 1)^{6} − \frac{1}{2}(n + 1)^{5} + \frac{5}{12}(n + 1)^{4} − \frac{1}{12}(n + 1)^{2} ∑ _{i=n}^{2n} (i − n)^{5} 4n^{5} − \frac{115}{4}n^{4} + \frac{245}{2}n^{3} − \frac{1083}{4}n^{2} + 294n − 120

27. Przecinając sześcian płaszczyzną można otrzymać Czworokąt nie będący trapezem (tj. taki, którego żadne dwa boki nie są równoległe) Pięciokąt foremny Sześciokąt foremny

28. Równania ax^{2} + bx + c oraz dx^{2} + ex + f mają te same dwa pierwiastki. Z tego wynika, że

a = d ae = bd c + f = 0

29. Pierwiastkami wielomianu ax^{2} + bx + c sa liczby 3 i 6. Z tego wynika, że b jest całkowite Jeżeli a jest całkowite to b jest całkowite Jeżeli b jest całkowite to c jest całkowite

30. Na ostrosłupie można opisać sferę wtedy i tylko wtedy, gdy:

Na jego podstawie można opisać okrąg Środki jego krawędzi bocznych leżą na jednej płaszczyźnie Środki jego krawędzi bocznych leżą na jednym okręgu