Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Na pytania odpowiada się ”tak” lub ”nie” poprzez wpisanie odpowiednio ”T” bądź ”N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi ”tak” i ”nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdką (gwiazdka wygląda tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnić.

Zasady punktacji: Za pojedynczą poprawną odpowiedź: 1 punkt. Za pojedynczą niepoprawną odpowiedź: -1 punkt. Za brak odpowiedzi: 0 punktów. Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punk-

ty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt. Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi bądź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Na to, by okręgi były styczne, wystarcza, by odległość ich środków była równa T Sumie ich promieni T Różnicy ich promieni N Iloczynowi ich promieni

2. Suma dwu liczb pierwszych N Musi być liczbą pierwszą N Dzieli się przez 3 T Może być liczbą pierwszą

3. Równanie x^{2} − πx + 2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych N Ma dokładnie jeden pierwiastek N Nie ma pierwiastków T Ma dokładnie dwa pierwiastki

4. Równość |a_{1} + … + a_{n}| = |a_{1}| + … + |a_{n}|, gdzie a_{n} są liczbami rzeczywistymi, jest prawdziwa

N Dla dowolnych liczb a_{1}, …, a_{n} N Wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby a_{1}, …, a_{n} są nieujemne T Jeśli wszystkie spośród liczb a_{1}, …, a_{n} są ujemne

5*. Prawdopodobieństwo znalezienia wśród 400 kandydatów do szkoły dwudziestu urodzonych tego samego dnia tygodnia jest

N Równe 0 T Równe 1 N Równe \frac{1}{7} 6. Dane są ciągi arytmetyczne 1, 5, 9, … oraz 7, 12, 17, . . .. Wówczas

N Żadna liczba naturalna nie występuje jednocześnie w obu ciągach T Istnieje liczba większa od 2000, która występuje w obu ciągach T Liczba 1997 występuje w obu ciągach

7*. Odcinek AD, gdzie D leży na odcinku BC, dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty podobne do niego. Wynika stąd, że trójkąt ABC jest

N Równoramienny T Prostokątny N Równoboczny

8. W liczącej 20 osób grupie 18 zna język angielski, 14 - niemiecki i 12 - francuski. Można zatem mieć pewność, że

T Istnieje osoba mówiąca co najwyżej dwoma językami obcymi N Trzema językami obcymi włada przynajmniej 6 osób T Trzema językami obcymi władają przynajmniej 4 osoby

9*. Ciąg (a_{n}) jest arytmetyczny, a ciąg (b_{n}) geometryczny. Jeśli a_{7} = b_{19}, a_{8} = b_{18}, a_{9} = b_{17}, to dla dowolnego i

N a_{i} > a_{i+3} T a_{i} = b_{i} T b_{i+3} b_{i}

10. Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, x T Warunek a > 0 i b > 0 jest równoważny warunkowi a + b > 0 i ab > 0 N Warunek |x − 1| < 0 jest równoważny warunkowi (x − 1)(1 − x) < 0 T Warunek |x − 1| < 2 jest równoważny warunkowi −1 < x < 3 11. Liczby całkowite dodatnie x, y, z spełniają warunek x^{2} + y^{2} = z^{2}. Wówczas co najmniej jedna z nich

T Dzieli się przez 2 N Jest nieparzysta T Dzieli się przez 3

12. Liczba 314159199999999 T Dzieli się przez 3 T Daje z dzielenia przez 9 resztę 6 N Dzieli się przez 9

13*. Długości a, b, c boków trójkąta prostokątnego spełniają a < b < c. Wynika stąd, że T a^{4} + b^{4} < c^{4} N a^{4} + b^{4} = c^{4} N a^{4} + b^{4} > c^{4}

14. Stosunek pola koła opisanego na trójkącie do pola koła wpisanego w ten trójkąt jest zawsze

N Mniejszy od 100 N Równy stosunkowi pola tego trójkąta do jego obwodu N Liczbą niewymierną

15. Funkcja f(x) = sin(cosx) dla wszystkich rzeczywistych x N Ma największą wartość równą 1 T Jest okresowa T Przyjmuje wartość 0 nieskończenie wiele razy

16. Rozpatrzmy następujący warunek: istnieje taki ciąg geometryczny (a_{k}), że liczby a_{1}, …, a_{n} są całkowite, a wszystkie dalsze wyrazy ciągu: a_{n+1} , a_{n+2} , … nie są całkowite. Prawdą jest, że

T Każda dodatnia całkowita liczba n spełnia ten warunek N Tylko liczba n = 1 spełnia ten warunek N Nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich nie spełnia tego warunku

17. Dla danego ciągu (a_{n}) definiujemy b_{n} = a_{n+1} − a_{n}. Załóżmy, że tak zdefiniowany ciąg b_{n} jest monotoniczny. Wynika stąd, że ciąg a_{n} jest

N Ograniczony N Monotoniczny T Monotoniczny począwszy od pewnego wyrazu

18*. Liczba 10004000600040001 jest T Czwartą potęgą liczby całkowitej N Sześcianem liczby całkowitej N Podzielna przez 321

19*. Dowolny trójkąt ostrokątny można podzielić na T Trzy trójkąty prostokątne N Dwa trójkąty rozwartokątne T Trzy trójkąty równoramienne

20. Figura powstała przez połączenie środków kolejnych boków trapezu równoramiennego N Jest prostokątem T Jest rombem T Ma pole równe połowie pola trapezu

21. Suma liczb całkowitych a i b jest równa ich iloczynowi. Wynika stąd, że T a = b T a = 0 lub b = 2 N a = 0 lub b = 0

22*. Tabliczkę czekolady złożoną z 24 kostek łamiemy w ten sposób, że za każdym razem przełamujemy tylko jedną część i na dokładnie dwie części. Aby mieć każdą kostkę oddzielnie należy wykonać

T Co najmniej 23 łamania T Co najwyżej 23 łamania T Dokładnie 23 łamania 23. Wysokość trójkąta może padać na bok przeciwległy wierzchołkowi, z którego jest poprowadzona, na wierzchołek lub na przedłużenie tego boku. Istnieje trójkąt, w którym liczba wysokości padających na przedłużenie boku jest równa

N 1 T 2 N 3

24. n prostych dzieli płaszczyznę na N Co najmniej 2n części T Co najwyżej \binom{n+1}{2} + 1 części

N Dokładnie \binom{n+1}{2} + 1 części

25. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie, a dwie spośród ich wspólnych stycznych są prostopadłe. Stosunek promieni tych okręgów może być równy

T 1 N 2 T 3 + 2\sqrt{2}

26. Suma ∑ _{i=1}^{n} i^{5} jest równa T \frac{1}{6}(n + 1)^{6} − \frac{1}{2}(n + 1)^{5} + \frac{5}{12}(n + 1)^{4} − \frac{1}{12}(n + 1)^{2} T ∑ _{i=n}^{2n} (i − n)^{5} N 4n^{5} − \frac{115}{4}n^{4} + \frac{245}{2}n^{3} − \frac{1083}{4}n^{2} + 294n − 120

27. Przecinając sześcian płaszczyzną można otrzymać N Czworokąt nie będący trapezem (tj. taki, którego żadne dwa boki nie są równoległe) N Pięciokąt foremny T Sześciokąt foremny

28. Równania ax^{2} + bx + c oraz dx^{2} + ex + f mają te same dwa pierwiastki. Z tego wynika, że

N a = d T ae = bd N c + f = 0

29. Pierwiastkami wielomianu ax^{2} + bx + c sa liczby 3 i 6. Z tego wynika, że N b jest całkowite T Jeżeli a jest całkowite to b jest całkowite T Jeżeli b jest całkowite to c jest całkowite

30. Na ostrosłupie można opisać sferę wtedy i tylko wtedy, gdy:

T Na jego podstawie można opisać okrąg N Środki jego krawędzi bocznych leżą na jednej płaszczyźnie T Środki jego krawędzi bocznych leżą na jednym okręgu