Zadania trudniejsze na kółko 12.11.2009

15.10.2009

1. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC opisanym na okręgu ω dwusieczne poprowadzone z wierzchołków A i B przecinaj _{}a przeciwległe boki trójk _{}ata w punktach odpowiednio A_{1} i B_{1}. Spodki wysokości opuszczonych z wierzchołków A i B to odpowiednio punkty A_{2} i B_{2}. Okr _{}ag ω jest styczny do boków BC i CA w punktach odpowiednio A_{3} i B_{3}. Pokazać, że proste A_{1}B_{1}, A_{2}B_{2} oraz A_{3}B_{3} przecinaj _{}a się w jednym punkcie.

2. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n ⩾ 3 prawdziwa jest nierówność:

\sqrt[n]{n} > \sqrt[n+1]{n + 1} .

3. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ takie, że dla każdego x, y ∈ ℝ zachodzi

f((f(x))^{2} + f(y)) = xf(x) + y.

4. Pokazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c zachodzi nierówność:

\frac{(b + c − a)^{2}}{(b + c)^{2} + a^{2}} + \frac{(c + a − b)^{2}}{(c + a)^{2} + b^{2}} + \frac{(a + b − c)^{2}}{(a + b)^{2} + c^{2}} ⩾ \frac{3}{5}.

Ponieważ do większości uczestników kółka nie dotarła w porę informacja o zadaniach trudniejszych, seria ta zostanie omówiona na następnym kółku prowadzonym przeze mnie, czyli 12 listopada.

Marta