KÓŁECZKO Z JEDNOKŁADNOŚCI (8.11.06)

1. TEORIA 1.1. Definicja - Jednokładność o środku O i skali α to przekształcenie płaszczyzny na płasz-

czyzn_{}e, które przekształca punkt A na taki punkt A′, że O⃗A′= α · O⃗A.

1.2. Jednokładność o skali różnej od 1 ma dokładnie jeden punkt stały - środek jednokładności.

1.3. Jednokładność przekształca dowoln _{}a figur_{}e na figur_{}e do niej podobn _{}a. 1.4. Środek jednokładności, punkt i jego obraz leż _{}a na jednej prostej. 1.5. Jednokładność zmienia orintacj_{}e wtedy i tylko wtedy, gdy ma ujemn _{}a skal_{}e. 1.6. Złożenie dwóch jednokładności o środkach O_{1}, O_{2}jest:

• jeśli α · β = 1 - przesuni_{}eciem

• jeśli α · β różne od 1 - jednokładności _{}a o skali α · β i środku leż _{}acym na prostej O_{1}O_{2}

2. ZADANIA 2.1. Dany jest okr _{}ag o i dwa różne punkty A i B należace do tego okr_{}egu. Znale”xć zbiór

środków cieżkości wszystkich takich trójk _{}atów ABP, że punkt P należy do tego okr_{}egu.

2.2. W trójk _{}acie ABC punkt D jest środkiem ci_{}eżkości, punkt H jest ortocentrum, a punkt O jest środkiem okr_{}egu opisanego na tym trójk _{}acie. Wykazać, że punkty D, H, O s _{}a współliniowe i DH = 2 · DO

2.3. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a wpisane w k _{}at o wierzchołku P oraz w k _{}aty wierzchołkowe o wierzchołku Q. Punkt R naleźy do okr_{}egu o_{1}, a proste P R i QR przecinaj _{}a okr _{}ag o_{2} w czterech punktach. Wykazać, że dwa spośród tych punktów s _{}a końcami jednej średnicy okr_{}egu o_{2}.

2.4. Punkt P należy do wn_{}etrza czworok _{}ata wypukłego ABCD. Wykazać, że środki cieżkości trójk _{}atów: ABP, BCP, CDP, DAP s _{}a wierzchołkami równoległoboku.

2.5. Przystaj _{}ace, rozł _{}aczne okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu o w punktach odpowiednio A i B. Punkt P należy do okr_{}egu o, odcinki P A i P B przecinaj _{}a okr_{}egi o_{1} i o_{2} odpowiednio w punktach C i D. Wykazać, że AB ∥ CD.

2.6. Dany jest sześciok _{}at ABCDEF. Wykazać, że środki cieźkości trójk _{}atów ABC, BCD, CDE, DEF, EF A, F AB s _{}a wierzchołkami sześciok _{}ata, którego przeciwległe boki s _{}a równe i równoległe.

2.7. Dany jest trójk _{}at ABC. W k _{}aty przy wierzchołkach A i B wpisać dwa przystaj _{}ace okr_{}egi styczne zewn_{}etrznie.