Maciej Rzeszut  Liczby zespolone w geometrii  21.09.2010

Bardziej znane fakty

Nie chce mi się pisać.

Mniej znane fakty

1. Punkty p, q, r są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ∑ \overline{p}q − p\overline{q} = 0.

2. Trójkąt o wierzchołkach a, b, c jest równoboczny wtedy i tylko wtedy, gdy ∑ a^{2} − ab = 0.

3. Jeśli |a| = |b|= 1, to rzutem c na prostą przechodzącą przez a, b jest \frac{1}{2} (a + b + c − ab\overline{c}) .

4. Jeśli |a| = |b|= |c| = |d| = 1, to punktem przecięcia prostych przechodzących przez a, b i c, d jest

\frac{ab (c + d) − cd (a + b)}{ab − cd} .

5. Punkty 0, a, b, c leżą na jednym okręgu lub są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy

|\begin{matrix}a & \overline{a} & |a|^{2} \\ b & \overline{b} & |b|^{2} \\ c & \overline{c} & |c|^{2} \end{matrix}| = 0.

6. Proste przechodzące przez pary punktów x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, z_{1}, z_{2} przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy

|\begin{matrix}x_{1} − x_{2} & \overline{x_{1}} − \overline{x_{2}} & \overline{x_{1}}x_{2} − \overline{x_{2}}x_{1} \\ y_{1} − y_{2} & \overline{y_{1}} − \overline{y_{2}} & \overline{y_{1}}y_{2} − \overline{y_{2}}y_{1} \\ z_{1} − z_{2} & \overline{z_{1}} − \overline{z_{2}} & \overline{z_{1}}z_{2} − \overline{z_{2}}z_{1} \end{matrix} | = 0.

Zadania

1. Na bokach dowolnego trójkąta zbudowano na zewnątrz trójąty równoboczne. Udowodnić, że ich środki ciężkości tworzą trójkąt równoboczny.

2. Dany jest taki sześciokąt wypukły ABCDEF, że AC = DF, CE = BF, oraz EA = BD. Wykazać, że odcinki łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta przecinają się w jednym punkcie.

3. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg. Punkty P, Q, R to rzuty punktu D na proste odpowiednio BC, CA, AB. Wykazać, że P Q = QR wtedy i tylko wtedy, gdy duwsieczne kątów ABC i ADC przecinają się na prostej AC.

4. Nieprostokątny trójkąt ABC jest wpisany okrąg o o środku O. Punkt H jest jego ortocentrum, punkty M, N są odpowiednio środkami odcinków BH i CH. Czworokąt HOMN można wpisać w okrąg. Odcinek BB′ jest średnicą okręgu o. Udowodnić, że 2B′N = AC.

5. Dany jest okrąg o środku O i parami różne punkty A, B, C ≠ O takie, że żadne dwa nie są współliniowe z O. Punkt A′ jest przecięciem biegunowej punktu B i biegunowej punktu C. Analogicznie określamy B′, C′. Udowodnić, że proste AA′, BB′, CC′przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe.

6. Wewnątrz trójkąta ABC obrano punkt M. Udowodnić, że wówczas zachodzi nierówność

\frac{BM · CM}{BA · CA} + \frac{CM · AM}{CB · AB} + \frac{AM · BM}{AC · BC} 1.