Maciej Rzeszut  Sumowanie  24.09.2010

1. Niech (Δf) (x) = f (x + 1) − f (x), \binom{x}{k} := \frac{1}{k!}x (x − 1) · . . .· (x − k + 1) . Wtedy Δ\binom{x}{k} = \binom{x}{k−1}.

2. Policz ∑_{k=0}^{n} k (k − 1) 3^{k} bez bajeczki.

3. Udowodnij w możliwie najfajniejszy sposób wzór Bineta.

4. Oblicz ∑_{k=0}^{3n} \binom{3n}{3k}.

5. (Wzór Leibniza) D^{n} (fg) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k}D^{k}f · D^{n−k} g.

6. Niech p_{n} będzie liczbą permutacji n elementów bez punktów stałych.

Wtedy p_{n} = n! ∑_{k=0}^{n} \frac{(−1) ^{k}}{k!} .

6. (Funkcja Möbuisa) Określamy μ (p_{1} …p_{k})= (−1)^{k} i 0 wszędzie indziej.

Wtedy ∑_{d|n} μ (d) = [n = 1].

7. (Inwersja Möbuisa) Niech f, g : ℕ^{+} → ℝ. Jeśli g (n) = ∑_{d|n} f (d), to

f (n) = ∑_{d|n} μ ( \frac{n}{d}) g (d).