Maciej Rzeszut  Nierówności dla twardzieli  23.09.2010

Teoria

1. Niech dla I ⊆ ℝ^{n} wypukłego i domkniętego funkcja f : I → ℝ będzie wypukła. Wtedy supf jest przyjmowane na brzegu I.

2. (Karamata) Funkcja f : ℝ → ℝ jest wypukła oraz (x_{k})_{k=1}^{n} ≻ (y_{k})_{k=1}^{n} .

Wtedy ∑_{k=1}^{n} f (x_{i}) ∑_{k=1}^{n} f (y_{i}).

3. Funkcja f : I → ℝ, gdzie I ⊆ ℝ^{n} jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej obcięcie do każdej prostej jest wypukłe.

4. (Lagrange) Niech I ⊆ ℝ^{n}, f, g : I → ℝ. Wówczas jeśli f przyjmuje ekstremum lokalne pod warunkiem g = 0, to ∇f = λ∇g dla pewnego λ ∈ ℝ.

Zadania

1. Liczby a_{1}, …, a_{5} należą do przedziału [0, 1]. Udowodnić, że

5 ∑_{k=1}^{5} a_{k}^{2} − ( ∑_{k=1}^{5} a_{k}) ^{2} 6.

2. Udowodnić, że dla dowolnych liczb nieujemnych x, y, z spełniających x + y + z = 1 zachodzi x^{3} + y^{3} + z^{3} + 6xyz \frac{1}{4}.

3. Ciąg (a_{1}, …, a_{2n+1} ) liczb dodatnich jest ściśle rosnący. Wykazać, że zachodzi nierówność

\sqrt[n]{a_{1}}− \sqrt[n]{a_{2}}+ \sqrt[n]{a_{3}}−…− \sqrt[n]{a_{2n}}+ \sqrt[n]{a_{2n+1}} < \sqrt[n]{a_{1} − a_{2} + a_{3} − … − a_{2n} + a_{2n+1}} .

4. Dla p 1, x ∈ ℝ^{n} określamy ∥x∥_{p} := ( ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|^{p}) ^{\frac{1}{p}}. Wtedy

p q ⟹ ∥x∥_{p} ∥x∥_{q}; ∥x∥_{p} + ∥y∥_{p} ∥x + y∥ _{p}.