Maciej Rzeszut  Nierówności II  22.09.2010

Teoria

-1. (Cauchy-Buniakowski-Schwarz) Dla x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n} ∈ ℝ prawdziwa jest nierówność

( ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2}) ( ∑_{i=1}^{n} y_{i}^{2}) ( ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i}) ^{2} .

0. (Hölder) Jeśli a_{i}, …, l_{i} > 0 dla każdego i = 1, …, n oraz α, …, λ > 0 spełniają \frac{1}{α} + … + \frac{1}{λ} = 1, to

( ∑_{i=1}^{n} a_{i}^{α}) ^{\frac{1}{α}} · . . . · ( ∑_{i=1}^{n} l_{i}^{λ}) ^{\frac{1}{λ}} ∑_{i=1}^{n} a_{i} · . . . · l_{i}.

1. (Schur) Dla a, b, c ∈ ℝ i funkcji niemalejącej f : ℝ → ℝ zachodzi

∑ f (a)(a − b) (a − c) 0.

2. (Muirhead) Dla x_{1}, …, x_{n} > 0 oraz p ≻ q zachodzi

∑_{σ} x_{σ(1)}^{p_{1}} · . . . · x_{σ(n)}^{p_{n}} ∑_{σ} x_{σ(1)}^{q_{1}} · . . . · x_{σ(n)}^{q_{n}}.

3. (Jensen) Jeśli f jest wypukła, p_{1}, …, p_{n} 0 oraz p_{1} + …+ p_{n} = 1, to dla dowolnych x_{1}, …, x_{n} zachodzi

∑_{i=1}^{n} p_{i}f (x_{i}) f ( ∑_{i=1}^{n} p_{i}x_{i}) .

Zadania

1. (Weitzenböck) Niech a, b, c będą długościami boków trójkąta o polu S. Udowodnij, że

a^{2} + b^{2} + c^{2} 4\sqrt{3}S.

2. Udowodnij, że jeśli x, y, z > 0 i x + y + z = xyz, to

∑ \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} \frac{3}{2}.

3. Niech x_{1}, …, x_{n}, k > 0. Wykaż, że jeśli

x_{1} + … + x_{n} \sqrt[k]{x_{1}} + … + \sqrt[k]{x_{n}},

to

x_{1}^{k} + … + x_{n}^{k} x_{1} + … + x_{n}.

4. Liczby a, b, c są dodatnie. Udowodnij, że

\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2abc} \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} .

5. Udowodnij, że dla a, b, c > 0 spełniających abc = 1 zachodzi

∑ \frac{1}{a^{3} (b + c)} \frac{3}{2}.