Maciej Rzeszut  Równania funkcyjne II  20.09.2010

0. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniające równanie

f (x) + f (y) = f (x + y)

dla każdych x, y ∈ ℝ. Nie umiesz? Bardzo słusznie. Teraz załóż, że f jest monotoniczna.

1. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniające równanie

f (xf (x) + f (y)) = f (x)^{2} + y

dla każdych x, y ∈ ℝ.

2. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniające równanie

f (f (x) + y) = f (x^{2} − y) + 4f (x)y

dla każdych x, y ∈ ℝ.

3. Dane jest N ∈ ℕ^{+} . Znajdź wszystkie funkcje f : ℤ → ℤ spełniające równanie

f (f (n)) = n + N

dla każdego n ∈ ℤ.

4. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ spełniające równanie

xf (x) − yf (y) = (x − y) f (x + y)

dla każdych x, y ∈ ℝ.

5. Znajdź wszystkie funkcje f : [0, 1]→ [0, 1]spełniające równanie

f (2x − f (x)) = x

dla każdego x ∈ [0, 1].