KóŁKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 8.04.2010 Podłoga

Teoria:

1. Cz_{}eści _{}a całkowit _{}a dowolnej liczby rzeczywistej x nazywamy najwi_{}eksz _{}a liczb_{}e calktowit _{}a niewi_{}eksz _{}a od x. W Polsce przyjmuje si_{}e oznaczać j _{}a przez [x], choć w literaturze spotyka si_{}e również zapis ⌊x⌋ i nazw_{}e podłoga liczby rzeczywistej x.

2. Z powyższym zwi _{}azane jest również poj_{}ecie cz_{}eści ułamkowej x (oznaczanej jako {x}) oraz sufitu liczby x (najmniejszej liczby całkowitej niemniejszej od x), oznaczanej jako ⌈x⌉.

3. Wybrane własności podłogi:

(a) [x] x < [x] + 1 (lub równoważnie: x − 1 < [x] x)

(b) Jeśli n ∈ ℕ, to dla dow. x ∈ ℝ mamy [x + n] = [x] + n

(c) Jeśli x ∈ ℤ, to [x] + [−x] = 0. W przeciwnym przypadku [x] + [−x] = −1.

(d) [x + \frac{1}{2}] jest liczb _{}a całkowit _{}a leż _{}ac _{}a najbliżej x

(e) [x] + [y] [x + y] [x] + [y] + 1

(f) Jeśli x ∈ ℝ^{+} i n ∈ ℕ, to [ \frac{x}{n}] jest liczb _{}a liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez n, nie przekraczaj _{}acych x

Zadania: zadania 10., 11.; 12 na cukierka

1. Udowodnij, że dla nieujemnych x, y ∈ ℝ zachodzi [x][y] [xy].

2. Udowodnij, że dla dowolnego x ∈ ℝ^{+} oraz n ∈ ℕ zachodzi [ \frac{x}{n}] = [ \frac{[x]}{n}].

3. Udowodnij, że dla dowolnych x, y ∈ ℝ mamy [2x] + [2y] [x] + [y] + [x + y].

4. Udowodnij, że dla dowonego n ∈ ℕ zachodzi [\sqrt{n} + \frac{1}{2}] = [\sqrt{n − \frac{3}{4}} + \frac{1}{2}] .

5. Niech r b_{}edzie liczb _{}a rzeczywist _{}a, dla której [r + \frac{19}{100}] + [r + \frac{20}{100}] + …+ [r + \frac{91}{100}] = 546. Znajdź [100r].

6. Znajdź wszystkie rozwi _{}azania równania 4x^{2} − 40 [x]+ 51 = 0.

7. (Twierdzenie Gaussa) Niech p i q b_{}ed_{}e wzgl_{}ednie pierwszymi liczbami naturalnymi. Udowodnij, że [ \frac{p}{q}] + [ \frac{2p}{q}] + … + [ \frac{(q−1)p}{q} ] = \frac{(p−1)(q−1)}{2}

8. Dziewi_{}eć jednakowych batonów kosztuje 11 złotych z groszami, a trzynaście takich batonów kosztuje 15 złotych z groszami. Ile kosztuje jeden baton?

9. Udowodnij, że ci _{}ag liczb naturalnych a_{n} = n + [\sqrt{2n} + \frac{1}{2}] opuszcza wył _{}acznie liczby trójk _{}atne (te postaci \frac{m(m+1)}{2} dla pewnego m ∈ ℕ).

10. Udowodnij, że ci _{}ag liczb naturalnych a_{n} = n + [\sqrt{n} + \frac{1}{2}] opuszcza wył _{}acznie kwadraty liczb naturalnych.

11. (Twierdzenie Beatty’ego) Niech x i y s _{}a dwiema dodatnimi liczbami niewymiernymi takimi, że \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1. Wówczas zbiory \{[x], [2x], …\}i \{[y], [2y], …\}s _{}a rozł _{}aczne, a ich suma stanowi zbiór wszystkich liczb całkowitych dodatnich.

12. (Tożsamość Hermite’a) Niech n ∈ ℕ i x ∈ ℝ. Wówczas [x]+ [x + \frac{1}{n}] + [x + \frac{2}{n}] + … +

[x + \frac{n−1}{n} ] = [nx]