KółKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 18.03.2010 Przydatne instrumenty zwi _{}azane z okr_{}egami, part II

Teoria:

1. Symedian _{}a poprowadzon _{}a z wierzchołka A w trójk _{}acie ABC nazywamy odbicie półprostej o pocz _{}atku w A, która zawiera środkow _{}a AM tego trójk _{}ata, wzgl_{}edem dwusiecznej k _{}ata ∠BAC.

2. Niech D b_{}edzie punktem na boku BC trójk _{}ata ABC. Wówczas AD jest symedian _{}a w tym trójk _{}acie wtedy i tylko wtedy, gdy \frac{DB}{DC} = ( \frac{AB}{AC} )^{2}.

3. Wszystkie symediany danego trójk _{}ata przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie zwanym punktem Lemoine’a

4. Niech ABCD b_{}edzie czworok _{}atem wpisanym w okr _{}ag o. Wówczas nast_{}epuj _{}ace warunki s _{}a równoważne:

(a) AC jest symedian _{}a w trójk _{}acie ABD

(b) AB · CD = BC · DA

(c) styczne do okr_{}egu o w punktach B i D przecinaj _{}a si_{}e na prostej AC

5. (Twierdzenie Pascala) Jeśli w dowolny sposób ponumerujemy wierzchołki sześciok _{}ata wpisanego w okr _{}ag liczbami 1, 2, 3, 4, 5, 6, to punkty przeci_{}ecia par prostych (1; 2)∩(4; 5), (2; 3) ∩ (5; 6), (3; 4) ∩ (6; 1) leż _{}a na jednej prostej.

Zadania:

1. Udowodnij punkt 3. powyższej teorii.

2. Niech K, L, M b_{}ed _{}a rzutami prostok _{}atnymi punktu Lemoine’a na boki BC, CA, AB trójk _{}ata ABC odpowiednio. Wykaż, że środkowa CN tego trójk _{}ata jest prostopadla do KL.

3. Dany jest trójk _{}at ABC w którym CA = CB. Punkt P leży wewn _{}atrz ABC, spełniaj _{}ac warunek ∠CAP = ∠P BA. Punkt M jest środkiem boku AB. Wykaż, że ∠AP M + ∠BP C = π.

4. Okr _{}ag o_{1} przechodzi przez punkty A, B i jest styczny do prostej AC; okr _{}ag o_{2} przechodzi przez punkty A, C i jest styczny do prostej AB. Udowodnij, że wspólna ci_{}eciwa okr_{}egów o_{1}, o_{2} jest symedian _{}a w trójk _{}acie ABC.

5. Styczne do okr_{}egu o w punktach A i B przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Ci_{}eciwa CD tego okr_{}egu przechodzi przez środek AB. Udowodnij, że ∠AP C = ∠BP D.

6. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, punkt M jest środkiem odcinka AC. Wykaż, że ∠AMB = ∠AMD wtedy i tylko wtedy, gdy BD jest symedian _{}a w ABC.

7. Dany jest trójk _{}at ABC. Niech X i Y b_{}ed _{}a takimi punktami, że ∠CAX + ∠CBY = π oraz ∠ACX = ∠BCY = 15^{∘}. Udowodnij, że wszystkie proste XY, odpowiadaj _{}ace różnym położeniom punktów X, Y, posiadaj _{}a punkt wspólny.

8. Punkty P, Q leż _{}a na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie ABC tak, że punkty P, B leż _{}a po przeciwnych stronach prostej CA, a punkty Q, A leż _{}a po przeciwnych stronach CB. Punkty X, Y leż _{}a na bokach CA i CB odpowiednio tak, że ∠CP X + ∠CQY = π. Udowodnij, że proste XY odpowiadaj _{}ace różnym położeniom punktów X, Y przecinaj _{}a si_{}e w jdnym punkcie.

9. Trójk _{}at ABC jest wpisany w okr _{}ag o. Okr _{}ag o_{1} jest styczny wewn_{}etrznie do okr_{}egu o oraz styczny do boków CA i CB w punktach D i E odpowiednio. Udowodnij, że środek odcinka DE jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC.