KółKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 18.02.2010 Twierdzenia i fakty z okr_{}egiem w roli głównej

Teoria:

1. Jeśli sześciok _{}at ABCDEF jest opisany na okr_{}egu, to proste AD, BE i CF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie (twierdzenie Brianchona).

2. W dowolnym czworok _{}acie ABCD zachodzi nierówność AB · CD + BC · DA AC · BD, przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy na tym czworok _{}acie da si_{}e opisać okr _{}ag (twierdzenie Ptolemeusza).

3. Dane s _{}a punkty A i B oraz liczba rzeczywista dodatnia α ≠ 1. Wówczas zbiór punktów P takich, że AP ÷ BP = α jest okr_{}egiem o środku leż _{}acym na prostej AB, zwanym okr_{}egiem Apoloniusza.

4. Jeśli okr _{}ag wpisany w czworok _{}at ABCD jest styczny do przeciwległych boków czworok _{}ata w punktach K i L, to proste AC, BD i KL przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

5. Jeśli punkt A leży na biegunowej punktu B wzgl_{}edem okr_{}egu o, to punkt B leży na biegunowej A wzgl_{}edem tego okr_{}egu (fakt o wzajemności biegunowych).

Zadania: 5. niekoniecznie zwi _{}azane z twierdzeniami wyżej

1. Okr _{}ag przechodz _{}acy przez punkt A równoległoboku ABCD przecina odcinki AB, AD, AC w punktach odpowiednio P, Q, R. Udowodnić, że AP · AB + AQ · AD = AR · AC.

2. Punkty A, B, C, D w tej kolejności na jednej prostej w taki sposób, że AB = 1, BC = 2 i CD = 6. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje punkt P, nieleż _{}acy na prostej AB taki, że ∠AP B = ∠BP C = ∠CP D.

3. Okr _{}ag o środku O jest styczny do boków czworok _{}ata ABCD w punktach kolejno K, L, M, N. Proste KL i MN przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Udowodnij, że prosta OS jest prostopadła do prostej BD.

4. Punkty P, Q leż _{}a na równych bokach AB, AC trójk _{}ata równoramiennego ABC w taki sposób, że odcinek P Q jest styczny do okr_{}egu wpisanego w ABC w punkcie Z. Odcinki BQ i CP przecinaj _{}a si_{}e w punkcie X, a prosta AX przecina BC w punkcie Y. Udowodnić, że \frac{P Z}{P A} + \frac{QZ}{QA} = \frac{AX}{AY}.

5. Czworok _{}at ABCD wpisany jest w okr _{}ag o. Udowodnij, że styczne do tego okr_{}egu w punktach B i D przecinaj _{}a si_{}e na prostej AC wtedy i tylko wtedy gdy AB·CD = BC·DA.

6. Okr _{}ag o środku I, wpisany w trójk _{}at ABC, jest styczny do boków BC i CA w punktach P i Q odpowiednio. Punkt M jest środkiem boku AB. Proste CM i P Q przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Udowodnij, że IS i AB s _{}a prostopadłe.

7. Znajdź zbiór punktów, z których dane dwa rozł _{}aczne zewn_{}etrznie okr_{}egi widać pod tym samym k _{}atem.

8. W rombie ABCD o boku 1 wybrano punkt P taki, że AP ·P C +BP ·P D = 1. Udowodnij, że P leży na przek _{}atnej rombu (którejkolwiek).