KółKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 18.02.2010 Jednokładność i zwi _{}azane z ni _{}a fakty

Teoria:

1. Jednokładności _{}a o środku w punkcie A i skali α (J_{A}^{α}) nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny w płaszczyzn_{}e, że każdemu punktowi P przyporz _{}adkowywany jest punkt P′ taki, że AP′= αAP.

2. Jeśli jednokładność nie jest identyczności _{}a, to jej jedynym punktem stałym jest jej środek.

3. Jednokładność przekształca proste na proste równoległe. Jedynymi prostymi stałymi jednokładności s _{}a poste przechodz _{}ace przez jej środek.

4. Złożenie dwóch jednokładności J_{A}^{α} i J_{B}^{β} jest...

(a) ... jednokładności _{}a o skali αβ i środku leż _{}acym na prostej AB, dla αβ ≠ 1

(b) ... przesuni_{}eciem dla αβ = 1

5. W dowolnym trójk _{}acie środek okr_{}egu opisanego O, środek ci_{}eżkości S i ortocentrum H leż _{}a na jednej prostej zwan _{}a prost _{}a Eulera. Dodatkowo SH = 2SO.

6. W trójk _{}acia ABC punkt K jest punktem styczności okr_{}egu wpisanego do boku BC. Odcinek KL jest średnic _{}a tego okr_{}egu, a prosta AL przecina bok BC w punkcie N. Wówczas BK = CN.

7. Okr _{}ag o_{1} jest styczny wewn_{}etrznie do okr_{}egu o w punkcie P. Ci_{}eciwa AB okr_{}egu o jest styczna do o_{1} w punkcie Q. Wówczas P Q jest dwusieczn _{}a k _{}ata AP B.

Zadania:

1. Dany jest trójk _{}at ABC. W k _{}aty o wierzchołkach A i B wpisać dwa przystaj _{}ace, styczne zewn_{}etrznie okr_{}egi.

2. Przek _{}atne trapezu przecinaj _{}a si_{}e w punnkcie P, a proste zawieraj _{}ace ramiona tego trapezu przecinaj _{}a si_{}e w punkcie Q. udowodnij, że prosta P Q przechodzi przez środki podstaw trapezu.

3. Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF. Wykazać, że środki ci_{}eżkości trójk _{}atów ABC, BCD, CDE, DEF, EF A, F AB s _{}a wierzchołkami sześciok _{}ata, którego przeciwległe boki s _{}a parami równoległe i równe.

4. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a wpisane w k _{}at o wierzchołku A. Okr _{}ag o jest styczny zewn_{}etrznie do okr_{}egów w punktach odpowiednio P i Q. Wykaż, że punkty A, P, Q s _{}a współliniowe

5. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA, i AB w punktach odpowiednio K, L, M. Odcinki KP, LQ, MR s _{}a wysokościami w trójk _{}acie KLM. Udowodnij, że proste AP, BQ, CR przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. Punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC, stycznego do boku BC w punkcie K. Niech M b_{}edzie środkiem boku BC oraz niech L b_{}edzie odbiciem symetrycznym K wzgl_{}edem M. Udowodnij, że proste IM i AL s _{}a równoległe.

7. Okr_{}egi o_{1} i o s _{}a styczne wewn_{}etrznie w punkcie P. Ci_{}eciwa AB okr_{}egu o przecina okr _{}ag o_{1} w punktach K i L. Udowodnij, że ∠AP K = ∠BP L.

8. Rozł _{}aczne zewn_{}etrznie okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu o w punktach P i Q. Prosta k, która nie rozdziela okr_{}egów o_{1} i o_{2}, jest do nich styczna w punktach A i B odpowiednio. Udowodnij, że proste AP i BQ przecinaj _{}a si_{}e na okr_{}egu o.

9. Dany jest kwadrat ABCD oraz punkty K i L leż _{}ace na prostej AB. Kwadrat KLMN leży po tej samej prostej AB, co kwadrat ABCD. Udowodnij, że proste AM, DL i BN przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.