Kolorowania

czwartek, 10 grudnia 2009

1. Udowodnij, że skończoną liczbą prostych nie można pokryć płaszczyzny

2. Płaszczyznę pokolorowano trzema kolorami. Udowodnić, że istnieją dwa punkty w tym samym kolorze, odległe o 1.

3. Liczby naturalne pomalowano dwoma kolorami (czarnym i białym). Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n, istnieją takie liczby a i b , że a, b , a + b są wszystkie czarne lub a , b , a + b są wszystkie białe.

4. Trójk _{}at równoboczny pomalowano dwoma kolorami. Dowieść, że można w niego wpisać trójk _{}at prostokątny o wierzchołkach w tym samym kolorze.