Siódma seria zadań trudniejszych

czwartek, 17 grudnia 2009

1. Niech I(k) oznacza iloczyn cyfr w systemie dziesi_{}etnym liczby naturalnej k (np. I(1341) = 12, zaś I(9903) = 0). Udowodnij, że istniej _{}a takie liczby naturalne a i k, że w ci _{}agu: a_{1} = a, a_{n+1} = a_{n} + k*I(a_{n}) dla n 1 wyst_{}epuje dokładnie 2009 różnych liczb.

2. Znajdź wszystkie nieparzyste n ∈ ℕ, takie że n|3^{n}-1.

3. Udowodnij, że iloczyn wszystkich liczb pierwszych mniejszych od n ∈ ℕ jest mniejszy niż 4^{n}