KÓłKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 12.11.2009 Zasada ekstremum (oraz omawianie zaległych zadań)

Teoria:

1. W ograniczonym z góry zbiorze liczb całkowitych znajdziemy element najwi_{}ekszy.

2. W ograniczonym z dołu zbiorze liczb całkowitych znajdziemy element najmniejszy.

3. Wbrew pozorom, powyższe dwa twierdzenia maj _{}a rozliczne zastosowania.

Zadania:

1. Na płaszczyźnie znajduje si_{}e n punktów czerwonych i n punktów niebieskich. Udowodnij, że możemy poł _{}aczyć je w n różnokolorowych par w taki sposób, że żadne dwa odcinki ł _{}acz _{}ace punkty w parze nie przecinaj _{}a si_{}e.

2. (Problem Sylwestra) Niech A b_{}edzie takim skończonym zbiorem płaszczyzny, że prosta przechodz _{}aca przez dowolne dwa punkty z tego zbioru przechodzi przez trzeci punkt z Ω. Udowodnij, że wszystkie punkty zbioru Ω s _{}a współliniowe.

3. Udowodnij, że nie istniej _{}a liczby całkowite x, y, z, t spełniaj _{}ace równanie x^{2} + y^{2} = 3(z^{2} + u^{2})

4. Udowodnij, że nie istniej _{}a liczby całkowite x, y, z, t spełniaj _{}ace równanie x^{4} + 4y^{4} = 2z^{4} + 8t^{4}.

5. Niech A b_{}edzie takim zbiorem punktów na płaszczyźnie, że dowolny punkt z Ω jest środkiem pewnego odcinka o końcach w tym zbiorze.

6. W każde pole nieskończonej szachownicy wpisano liczb_{}e całkowit _{}a nieujemn _{}a w taki sposób, że dowolna liczba jest średni _{}a arytmetyczn _{}a liczb z ni _{}a s _{}asiaduj _{}acych. Udowodnij, że wszystkie te liczby s _{}a parami równe.

7. Na obrzeżach Bł_{}ednego Koła postawione s _{}a automaty o kawy. Wiadomo, że zgromadzona w nich sumaryczna ilość kawy umożliwiłaby niewyspanemu prowadz _{}acemu przejście całego koła. Udowodnij, że istnieje automat, z którego zaczynaj _{}ac prowadz _{}acy może przejść całe Bł_{}edne Koło i nie zasn _{}ać po drodze.

8. W dowolnym pi_{}eciok _{}acie wypukłym jesteśmy w stanie wybrać trzy przek _{}atne formuj _{}ace trójk _{}at.

9. Udowodnij, że \sqrt{2} jest niewymierny. Byłoby miło, gdybyś skorzystał z opisanej wyżej metody.

10. W szkole urz _{}adzono wielki turniej gry w Kamień-Papier-Nożyce Bez Remisów. Mi_{}edzy dowolnymi dwoma uczestnikami rozegrany została dokładnie jedna gra. Udowodnij, że istnieje gracz, który wygrał pośrednio lub bezpośrednio ze wszystkimi pozostałymi graczami (przez pośredni _{}a wygran _{}a z graczem X rozumiemy wygran _{}a z pewnym graczem Y, który wygrał z graczem X).