KółKO MATEMATYCZNE DLA KLAS PIERWSZYCH, 19.11.2009 Pot_{}ega punktu wzgl_{}edem okr_{}egu

Teoria:

Dany jest okr _{}ag o = o(O, r) i punkt X leż _{}acy gdziekolwiek...

1. Pot_{}eg _{}a punktu X wzgl_{}edem okr_{}egu o nazywamy wartość |OX|^{2}-r^{2} i oznaczamy jako Pot(X, o).

2. Niech k b_{}edzie dowoln _{}a prost _{}a przechodz _{}ac _{}a przez punkt X, przecinaj _{}ac _{}a o w punktach P i Q. Wówczas XP · XQ=Pot(X, o). Jeśli k jest styczn _{}a do okr_{}egu w punkcie P, zachodzi XP^{2}=Pot(X, o).

3. Jeśli na czworok _{}acie ABCD da si_{}e opisać okr _{}ag, to AP ∗ P C = BP ∗ P D, gdzie P jest punktem przeci_{}ecia przek _{}atnych czworok _{}ata. Podobnie, AQ ∗ QB = CQ*QD, gdzie Q jest punktem przeci_{}ecia si_{}e przedłużeń boków AB i CD.

4. Jeśli czworok _{}at ABCD jest wypukły, prawdziwe jest twierdzenie odwrotne do poprzedniego (dobry warunek opisywalności okr_{}egu na czworok _{}acie).

5. Dany jest trójk _{}at ABC oraz prosta k przechodz _{}aca przez A. Punkt X jest przeci_{}eciem prostych BC i k. Wówczas okr _{}ag opisany na trójk _{}acie jest styczny do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy XA^{2} = XB·XC.

6. Osi _{}a pot_{}egow _{}a okr_{}egów o_{1}, o_{2} nazywamy zbiór punktów P: Pot(P, o_{1}) =Pot(P, o_{2}). Okazuje si_{}e, że jest to prosta.

7. Dla dowolnych trzech parami różnych okr_{}egów o_{1}, o_{2}, o_{3} osie pot_{}egowe par okr_{}egów o_{1} i o_{2}, o_{2} i o_{3} oraz o_{3} i o_{1} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie, nazywanym środkiem pot_{}egowym okr_{}egów o_{1}, o_{2}, o_{3} lub s _{}a równoległe.

Zadania:

1. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e punktach D i E. Niech k b_{}edzie prost _{}a styczn _{}a do okr_{}egu o_{1} w punkcie P i do okr_{}egu o_{2} w punkcie Q. Udowodnij, że prosta DE połowi odcinek P Q.

2. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e punktach D i E. Punkt A prostej DE leży poza obydwoma okr_{}egami. Prote AP i AQ s _{}a styczne do o_{1} i o_{2} w punktach P i Q odpowiednio. Udowodnij, że AP = AQ.

3. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e punktach D i E. Punkt A prostej DE leży poza obydwoma okr_{}egami. Proste k i l, przechodz _{}ace przez A, przecinaj _{}a dane okr_{}egi w punktach P, Q, R, S. Udowodnij, że na czworok _{}acie P QRS da si_{}e opisać okr _{}ag.

4. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA, AB w punktach K, L, M odpowiednio. Proste KL i AB przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Udowodnij, że P C^{2} = P M^{2} + CK^{2}.

5. Okr _{}ag o jest styczny do prostej k w punkcie A. Ci_{}eciwa BC tego okr _{}agu jest równoległa do prostej k. Punkt P należy do k, a proste P A i P B przecinaj _{}a o w punktach D i E odpowiednio. Udowodnij, że prosta DE połowi odcinek AP.

6. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a wzajemnie styczne oraz styczne zewn_{}etrznie do prostej k w punktach A i C. AB jest średnic _{}a o_{1}. Prosta BD jest styczna do o_{2} w punkcie D. Udowodnij, że BD=BA.

7. Dany jest sześciok _{}at wypukły ABCDEF w którym AB = BC, CD = DE i EF = F A. Udowodnij, że proste przechodz _{}ace przez punkty A, C, E, prostopadłe do odcinków F B, BD, DF odpowiednio, przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.